7.3.1离散型随机变量的均值课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共21张PPT)

(共21张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？
18元/千克
24元/千克
36元/千克
创设情境
方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.
方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克.
方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为
元/千克.
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
类似两组数据的比较, 首先比较击中的平均环数, 如果平均环数相等, 再看稳定性.
问题探究
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
问题探究
随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
概念形成
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少
解：由题意得，X的分布列为
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
典例分析
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
关键步骤
方法总结
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
解：由题意得，X的分布列为
即点数X的均值是3.5.
典例分析
观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
探究新知
观察图形可以发现: 在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
探究 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)和E(aX) (其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
探究新知
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
类似地，可以证明
一般地，下面的结论成立：
解：
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
求E(X)；
(2) 求E(3X+2).
小试牛刀
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
规则如下: 按照A, B, C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例分析
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值为
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
典例分析
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 .
采用方案1, 无论有无洪水，都损失3800元. 因此
采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此
采用方案3, 有
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”:
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小. 不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
1. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
甲机床次品数的分布列
乙机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
小试牛刀
解：
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.
1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值.
解：由题意得，X可能的取值为1, 2, 3, 4, 5，则
X 1 2 3 4 5
P
巩固练习
由离散型随机变量均值的定义知E(X)= ×(1+2+3+4+5)=3.
P(X=4)= ，P(X=5)=
P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)=
故X的分布列为
2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
　　商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．用Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求Y的分布列及均值E(Y)．
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
巩固练习
解：(1)设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 则 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
巩固练习
(2)Y的可能取值为200元，250元，300元.
P(Y=200)=P(X=1)=0.4
P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4
P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2
X 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).
因此Y的分布列为
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
2. 均值的性质：
3. 随机变量X服从两点分布，则有
课堂小结