江苏省涟水金城外国语学校2013届高三下学期期初检测数学试题

一、填空题
1．原点到直线的距离等于
2．已知实数满足,则的最大值为21，则 _____
3．已知点在直线上，则的最小值为 .
4．两个整数490和910的最大公约数是 ▲ ．
5．已知向量，满足·=0，││=1，││=2，则│2－│=_________。
6．若的内角满足,则_______
7．设满足条件若函数的最大值为8，则的最小值为
8．已知不等式组的整数解只有1，则实数的取值范围是 ．
9．已知
10．如图，已知是圆的直径，，为圆上任意一点，过点做圆的切线分别与过两点的切线交于点，则________________．
11．不等式的解集是
12．如图是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为 m
13．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为．图2-2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算
法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ．
14．若函数满足且时，；函数 ，则函数与的图象在区间内的交点个数共有
个.
二、解答题
15．已知函数，，且对恒成立．
（1）求a、b的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
（3）记，那么当时，是否存在区间（），使得函数在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由．
16．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录了6个抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.
根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.
17． 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
18．如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（III）求三棱锥的体积.
19．设，函数.
（1）若曲线在处切线的斜率为-1，求的值；
（2）求函数的极值点
20．将函数的图象F按向量平移后所得到的图象的解析式是，求向量．
参考答案
1．
2．或
3．4
4．70
5．
6．
7．4
8．
9．
10．
11．
12．9
13．9
14．8
15．解．令，则对有解．
记，则或解得．
解析：（ 1）由得或．于是，当或时，得
∴∴此时，，对恒成立，满足条件．故．
（2）∵对恒成立，∴对恒成立．
记．∵，∴，∴由对勾函数在上的图象知当，即时，，∴．
（3）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴在上是单调增函数，∴即即∵，且，故：当时，；当时，；当时，不存在．
16．(1)甲车间的产品的重量相对较稳定. (2) .
(1)先计算平均数，平均数差距不大的情况下，再计算方差，方差越小，发挥越稳定.
（2）本不题属于古典概型.先列出乙车间6件样品中随机抽取两件共有15种基本结果，然后再把事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”包含的基本结果列出来，再根据古典概型概率计算公式求解即可
(1) , …… 1分
, …… 2分
=21,
,4分
∵, , …… 5分
∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分
(2) 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:
… 8分
设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种:,. …… 10分
故所求概率为.
17．4
因为在上，，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.作出在上的图象如下图所示， 与轴交于0、、，，所求
18．证明：（Ⅰ）因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. ………………………… 2分
因为平面,平面，所以平面. …………………4分
（Ⅱ）由题意，,
因为,所以，. …………………………….6分
又因为菱形，所以.
因为,所以平面，
因为平面，所以平面平面.
……………………………………………………………….9分
（Ⅲ）三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
由（Ⅱ）知，平面，所以为三棱锥的高，且.
的面积为.
所求体积等于. ………………………………………………12分
19．（Ⅰ） （Ⅱ）当时，是的极大值点，是的极小值点；当时，没有极值点；当时，是的极大值点，是的极小值点
（1）由已知 2分
4分
曲线在处切线的斜率为-1，所以 5分
即，所以 6分
（2） 8分
①当时，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增。
此时是的极大值点，是的极小值点 10分
②当时，
当时，＞0，
当时，，
当时，
所以函数在定义域内单调递增，此时没有极值点 11分
③当时，[来源:]
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增
此时是的极大值点，
是的极小值点 13分
综上，当时，是的极大值点，是的极小值点；
当时，没有极值点；
当时，是的极大值点，是的极小值点
20．向量
设向量，将F按向量平移所得到的图象F，的解析式是
，
化简整理得，
依题意，这一函数即为，
∴解得
故所求的向量．