5.1导数的概念及其意义 课件（59张PPT）

(共59张PPT)
导数的概念及其意义
掌握平均变化率的概念。通过分析实例，体会平均变化率的思想及其内涵；
通过函数图象直观地理解平均变化率和瞬时变化率，知道导数就是瞬时变化率；
体会导数的思想及其内涵；能根据导数定义，求函数的导数。
教学目标
教学重点
教学难点
了解瞬时变化率的意义，体会导数的思想和内涵，理解导数的几何意义。
体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近方法；
理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来。
思考：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢。从数学角度，如何描述这种现象呢
气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm)之间的函数关系是：
如果将半径r表示为体积V的函数,那么：
当V从0增加到1时,气球半径增加
r(1) r(0)≈0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
(r(1) r(0))/(1 0)≈0.62(dm/L)
当V从1增加到2时,气球半径增加
气球的平均膨胀率为
(r(2) r(1))/(2 1)≈0.16(dm/L)
r(2) r(1)≈0.16(dm)
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm)之间的函数关系是：
如果将半径r表示为体积V的函数,那么：
在0 ≦t ≦0.5这段时间里
在1 ≦t ≦2这段时间里
提示：试着计算0≦t≦0.5和1≦t≦2时的平均速度。
以上两个问题都是求变化率，我们可以用函数关系式y=f(x)来表示。 那么变化率为：
平均变化率
顺时变化率
思考：平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？
如何知道运动员在每一时刻的速度呢？
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
顺时变化率
当Δx趋近于0时，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边趋近于1时，平均速度都趋近于一个确定的值-5。
△t>0时，在[1-Δt,1]这段时间内：
顺时变化率
当Δx趋近于0时，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边趋近于1时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度.
导数的几何意义
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT。则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线。
导数的概念
导数的概念
同理，当Δx趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边趋近于1时，斜率都趋近于一个确定的值2。
-2
是函数f(x)在以x0与x0+Δx 为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率，而导数则是函数f (x)在点x0 处的瞬时变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度。
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数，就说函数y=f(x)在点x0处可导，如果极限不存在，就说函数 f(x)在点x0处不可导。
导数的概念
一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是：
导数的概念
我们称它为函数y=f(x)在x=x处的导数。
一般将导数记作 ，或者 ，即：
1.在例2中，计算第3h与第5h时原油温度的瞬时变化率 并说它们的意义 .
掌握导数的定义，理解导数与瞬时速度之间的关系
瞬时速度与导数
导数的几何意义
f(x)在 x=x0处的导数f'(x0)即为f(x)所表示曲线在x=x0处切线的斜率，即：
这就是导数的几何意义
解:我们用曲线h(t)在t=to， t1， t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当t=to时，曲线h(t)在t=to处的切线l0平行于t轴，h'(to)=0. 这时，在t=to附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
(2) 当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线4的斜率h'(t1)<0. 这时，在t=t附近曲线下降，即函数h(t)在t=t;附近单调递减.
(3)当t=t2时，曲线h(t)在t=tp处的切线I,的斜率h(t2)<0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减。
从图可以看出，直线h的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t附近比在t=t2附近下降得缓慢.
2.图 是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间: (单位:min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6， 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0. 1).
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的顺时变化率f'(t)
0.4 0 -0.7 -1.4
A
5.小明骑车上学，开始时匀建行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是( ).
D
6.如图，试描述函数f(x)在x=-5，-4，-2, 0, 1附近的变化情况.
由图可知。函数f(x)在x=-5处切线的斜率大于零。所以函数在x=-5附近单调递增，同理可得。函数f(x)在x=-4.,-2,0,1附近分别单调递增。几乎没有变化.单调递减。单调递减。
分析：高度关于时间的导数到画的是运动变化的快慢。即速度:速度关于时间的导数到画的是速度变化的快慢。最据物理知识。这个量就是加速度。
10.已知函数f(x)的图象，试画出其导函数f' (x)图象的大致形状.
第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数。因此。其导数f'(x)的图象如图(1)所示；
第二个函数的导数f'(x)恒大于零，并且随着x的增加，f'(x)的值也在增加；
对于第三个函数。当x小于零时。f'(x)小于零， 当x大于零时，f'(x)大于零， 并且随着x的增加。f'(x)的值也在增加。
以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
掌握导数的几何意义及其求法
导数的几何意义
导数的概念及其意义
平均变化率和瞬时变化率的概念
导数的概念
使用定义求函数的导数
导数的几何意义