5.2 导数的运算 课件（73张PPT）

(共73张PPT)
导数的运算
教学目标
根据导数定义求基本函数的导数；
掌握基本初等函数的导数公式；
会运用导数的四则运算法则及简单复合函数的复合过程。
教学重点
教学难点
理解并熟练记忆基本初等函数的导数公式表；掌握函数积与商的导数公式；掌握复合函数的求导方法。
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？
引入
(3)求极限
常见函数的导数
1.函数y=f(x)=c的导数：
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)=c的导数：
若 y=c（如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。
公式1：
常见函数的导数
函数y=f(x)=x的导数：
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)=x的导数：
若 y=x（如图）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动。
常见函数的导数
函数y=f(x)=x2的导数：
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)=x2的导数
若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x的瞬时速度为2x。
常见函数的导数
函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)= 的导数
观察导函数，你能否把它和原函数进行对应？
表示函数 的图象（图5.24）上点（x,y）处切线的斜率为 ，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
常见函数的导数
因为
所以
常见函数的导数
思考：以上2~5出现的函数有什么共同点？
比较它们本身的形式和导函数的形式，你能否发现更加普适的规律？
因为
所以
常见函数的导数
注意：根据我们所掌握的知识，只能就n是整数的情况加以证明。这个公式称为幂函数的导数公式。事实上n可以是任意实数。
公式2：
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表（表5.2-1），这些公式可以直接使用.
常见函数的导数
基本初等函数的导数公式
例题
例1：求下列函数的导数：
(1)
解：
(2)
例题
例2：假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系
，
其中 为t=0时的物价、假定某种商品的 =1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
所以
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
练习1
求下列函数的导数：
解：
练习2
求下列函数在给定点的导数:
解：(1)405
(2)
(3)1
(4)1
练习3
解：
y'=-sinx
练习4
解：
和(或差)的导数
设 ，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)-g(x)]，它们与f(x)和g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么
若f(x)，g(x)在x处可导，则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
例
所以
而
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
同样的，对于上述函数，
和(或差)的导数
若f(x)，g(x)在x处可导，则
例题
例3：求下列函数的导数
解：
积的导数
设 ，g(x)=x，计算[f(x)g(x)]与f(x)g'(x)，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知， ， f'(x)g'(x)=2x·1=2x，
因此[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x) .同样的，
积（或商）的导数
解：由导数的基本公式得：
积（或商）的导数
积（或商）的导数
该公式同时也可以视为导数积公式的推论。
例题
例：求下列函数的导数：
解：
(1)
(2)
例题
例：日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%
解：
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
例题
（1）因为 ，所以，净化到纯净度为
（2）因为 ，所以，净化到纯净度为
90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
98%时，净化费用的时变化率是1321元/吨.
练习
运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2.你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？
解：
y'=2x-7
x=2,y'=-3
x=6,y'=5
练习
求下列函数的导数
解：
解：
练习
练习
解：
当x=1时，y'=-1
所以切线方程为y-4=-(x-1)
即y=-x+5
掌握导数四则运算的公式和方法
导函数的直接计算
简单复合函数的导数
思考：如何求函数y=㏑(2x-1)的函数呢？
我们无法用现有的方法求函数y=㏑(2x-1)的导数。下面，我们先分析这个函数的结构特点。
简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数。记做y=f(g(x))。
简单复合函数的导数
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究y=sin2x的导数。
一个合理的猜想是，函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu,u=2x的导数有关。下面我们就来研究这种关系。
简单复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
例题
求下列函数的导数：
解：
例题
解：
例题
解：（3）函数y=ln（2x-1）可以看作函数y=lnu和u=2x-1的复合函数。根据复合函数的求导法则，有
例题
某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式 。求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.
解：
它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
练习
求下列函数的导数：
解：
练习
解：
练习
解：
练习
解：
练习
解：
练习
解:
练习
求下列函数在给定点的导数
解：
练习
解：
练习
解：
掌握复合函数的导数求法
复合函数的导数
习题
求下列函数的导数
解：
习题
求下列函数的导数：
解：
习题
解：
习题
解：
习题
解：
习题
求下列函数的导数：
解：
习题
解：
习题
解：
习题
解：
小结
分层
选择中间变量，写出构成它的内、外层函数
分别求导
分别求各层函数对相应变量的导数
相乘
把上述求导的结果相乘
变量回代
把中间变量回代
求复合函数的导数的步骤
习题
求下列函数的导数：
解：
习题
解：
习题
解：
习题
解：
习题
解：
习题
解：
总结
导数的运算
常见函数的导数计算
导数的四则运算
复合函数的导数计算