5.3 导数在研究函数中的应用 课件（85张PPT）

(共85张PPT)
导数在研究函数中的应用
教学目标
从函数的几何图形上观察、探究最大（小）值与极值、两个端点处的函数值之间的关系，总结出一般规律，并用来求一些简单（连续）函数的最大（小）值。
应用导数探索函数的单调性，解决实际问题；
理解函数的极大值、极小值、极值点的意义，掌握函数极值的判别方法；
教学重点
利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
教学难点
函数在某点能取到极值的必要条件和充分条件。
函数的单调性与导数
函数的单调性与导数
左边表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像。
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
函数的单调性与导数
这种情况是否具有一般性呢
函数的单调性与导数
函数的单调性与导数
如果在某个区间内恒有f ’(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
在该区间内函数值不变，图像为水平直线。
函数的单调性与导数
x
f '(x)
f (x)
+
单调递增
-1
0
(-1,2)
-
单调递减
2
0
+
单调递增
函数的单调性与导数
第1步，确定函数的定义域；
函数的单调性与导数
函数的单调性与导数
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”
x
f '(x)
f (x)
单调递减
-1
0
(-1,1)
单调递增
0
单调递减
-
-2
+
1
2
-
x
f '(x)
f (x)
单调递增
0
单调递减
0
单调递增
1
+
-
-1
+
理解导数正负和单调性的关系，通过导数判断函数的单调性，并写出单调区间
利用导数判断函数的单调性
(-3,1)
D
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
观察上图，可以发现t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在此点的导数是多少？此点附近的图像有什么特点？相应的，导数的符号有什么变化规律？
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
x
f '(x)
f (x)
+
单调递增
-2
0
(-2,2)
-
单调递减
2
0
+
单调递增
1.同一函数，极大值一定大于极小值吗？
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
掌握导数极值的判断方法
函数的极值
D
D
函数的极值与最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质。但是，在解决实际问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？
函数的极值与最大（小）值
观察一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象。
在上图中，观察[a,b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a,b]上是否有最大值﹑最小值？如果有，分别是多少？
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
x
s '(x)
s (x)
单调递增
0
单调递减
-
1
0
+
函数的极值与最大（小）值
x
f '(x)
f (x)
单调递增
0
单调递减
-
1
0
+
x
f '(x)
f (x)
+
单调递增
-2
0
+
单调递减
函数的极值与最大（小）值
函数的极值与最大（小）值
A
恒成立问题的转化
常见恒成立问题
拓展：恒成立与存在性问题
拓展：恒成立与存在性问题
(7,+∞)
拓展：函数的零点问题
拓展：恒成立与存在性问题
提示：关键是把题目中的不等式转化为求最值问题
拓展：恒成立与存在性问题
常见存在性问题
拓展：恒成立与存在性问题
拓展：恒成立与存在性问题
拓展：恒成立与存在性问题
B
拓展：构造新函数解不等式
拓展：构造新函数解不等式
A
拓展：构造新函数解不等式
D
拓展：构造新函数解不等式
D
拓展：构造新函数解不等式
B
拓展：函数的零点问题
零点问题的转换
（1）f(x)的零点 f(x)=0的根 ______与_______的交点；
（2）F(x)=f(x)-a的零点 f(x)-a=0的根 ______与_______的交点；
（3）F(x)=f(x)-g(x)的零点 f(x)-g(x)=0的根 ______与_______的交点。
f(x)
x轴
f(x)
y=a
f(x)
g(x)
拓展：函数的零点问题
D
拓展：函数的零点问题
拓展：函数的零点问题
总结
导数在研究函数中的应用
1.利用导数判断函数的单调性
2.利用导数求函数的极值
3.参考极其求函数的最值
4*.导数的恒成立与存在性问题
5*.构造新函数求导技巧
6*.函数的零点问题