3.1 椭圆 课件（75张PPT）

(共75张PPT)
椭圆
掌握椭圆的定义和标准方程；
明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导；
掌握椭圆的基本几何性质；
熟悉求曲线方程的一般步骤。
教学目标
掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想
椭圆标准方程的推导和化简，坐标法的应用
教学重点
教学难点
取一条定长的细绳，把细绳的两端绑在两个图钉上，让图钉固定在两点处(有一定距离)，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 | | ）的点的轨迹
叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
定义要满足三个条件：
①平面内（这是大前提）；
②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；
③常数大于 | | ．
椭圆的定义

知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2.怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
椭圆的标准方程
１、建系
2 、设点
设M(x,y)是椭圆上的任一点
则M与| |的距离为2a
4 、让学生化简，得到
3、列出方程：
两边同除：
得
椭圆的标准方程
思考:观察图形在图中找出一些能表示a、c、
线段吗
先简化
令
，则方程变为
联想到直线截距式方程，两边同时除以
教师指出方程
在x轴上，焦点是
这里
椭圆的标准方程
叫做椭圆的标准方程.
此时椭圆的焦点
问题： 如果焦点 、 在 y 轴上，并且点O与线段 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？
学生相互讨论、交流，合情猜想，动手验证可得：
指出：方程
叫做椭圆的标准方程.
在y轴上，焦点是
这里
椭圆的标准方程
此时椭圆的焦点
椭圆的标准方程
不同点
相同点
图形
定义
a、b、c的关系
焦点位置的判定
平面内与两个定点 的距离的和
等于常数（大于 | | ）的点的轨迹

在 下面，则焦点在 x 轴上；
在 下面，则焦点在 y 轴上
标准方程
焦点坐标
已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0)，并且经过点
求它的标准方程.
解：由于椭圆的两个焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知c=2，
所以
所以
所以
，所求椭圆的标准方程为
例题
如图所示,在圆
上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为
垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
例题
解：设点M 的坐标为（x,y）,点P 的坐标为
则点D 的坐标为
由点M是线段PD的中点，得
因为点P 在圆 上，所以
把 带入方程①，得
①
即
所以点M 的轨迹是椭圆




例题
解：设点M 的坐标为（x,y）,点P 的坐标为
则点D 的坐标为
由点M是线段PD的中点，得
因为点P 在圆 上，所以
把 带入方程①，得
①
即
所以点M 的轨迹是椭圆




例题
你能从中发现圆和椭圆之间的关系吗？
“当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点
重合，图形变为圆，它的方程为 ”

如图，设A，B 两点的坐标分别为（-5，0）（5，0）.
直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是
求点M的轨迹方程.
分析：设点M 的坐标为(x,y),那么直线AM，BM 的斜率就可用含 x,y 的关系式分别表示，由直线AM，BM 的斜率之积是
，可得出x,y 之间的关系式，进而得到点

M 的轨迹方程.
例题
解：设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5，0)，
所以直线AM 的斜率
同理，直线BM 的斜率
由已知，有
化简，得点M 的轨迹方程为
点M 的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆.
例题
1.如果椭圆
上一点P与焦点
的距离等于6，那么点P与
另一个焦点
的距离是
练习
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；
（2）a=4, , 焦点在y轴上；
（3）a+b=10,c=
或
练习
3.经过椭圆
的右焦点 作垂直于x 轴的直线AB，
A，B 两点，
是椭圆的左焦点.
的周长
(2)如果AB 不垂直于x轴，
的周长
有变化吗？为什么？
解：由已知，a=5,b=4,所以
练习
交椭圆于
4.已知A，B 两点的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM 相交
于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？
为什么？
解：设点M 的坐标为(x,y)，由已知，得
直线AM 的斜率
直线BM的斜率
由题意，得
所以,
化简，得
因此，点M 的轨迹是直线 x =-3，并去掉点（-3，0）
练习
我们知道，解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求曲线的方程；
（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.
下面，我们通过椭圆的标准方程来研究椭圆的性质：
椭圆的几何性质

1.范围
-a≤x≤a -b≤y≤b
（1）由图知：
（2）由方程：
椭圆的几何性质
2.对称性
（1）由图知：关于x 、y轴成轴对称，关于原点成中心对称。
（2）由方程：
以-x代x
y不变
以-y代y
x不变
以-x代x
-y代y
代入方程
仍成立
关于y轴对称
关于x轴对称
关于原点对称
椭圆的几何性质

3.顶点
（1）椭圆的顶点：椭圆与坐标轴的四个交点。
顶点的坐标为： （-a，0） （a，0） （0，-b） （0，b）
（2）长轴：线段 短轴：线段
长轴长：2a；长半轴长：a
短轴长：2b；短半轴长：b
（3）短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a，b，c。
椭圆的几何性质

4.离心率
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比，即
叫做椭圆的离心率。
（2）范围：因为a>c>0，所以
e 越接近1，椭圆越扁；e 越接近0，椭圆越圆。
离心率反映了椭圆的扁平程度。
特别地，当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆。
椭圆的几何性质
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
关于x 、y轴成轴对称，关于原点成中心对称
椭圆的几何性质
求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化为标准方程，得
于是a=5,b=4,
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率
两个焦点坐标分别是 和
四个顶点坐标分别是
和
例题
1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？


练习
1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？
以点 （或点 ）为圆心，以线段 （或 ）为半径画圆，
圆与x轴的两个交点分别为
点 就是椭圆的两个焦点
这是因为，在 中，
所以，
同样有
练习
2.求下列椭圆的焦点坐标
(1)焦点坐标为(-8,0),(8,0)
(2)焦点坐标为(0,2),(0,-2)
练习
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点在 x 轴上，
（2）焦点在 y 轴上，
练习
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）经过P（-3，0），Q（0，-2）两点
（2）长轴长等于20，离心率等于
或
练习
5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？
与
与
（1）椭圆 的离心率是 ，椭圆 的离心率是
因为 ，所以，椭圆 更圆，椭圆 更扁
（2）椭圆 的离心率是 ，椭圆 的离心率是
因为 ，所以，椭圆 更圆，椭圆 更扁
练习
如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周
形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的
一个焦点
上，片门位于另一个焦点
上，由椭圆一个焦点
发出的光线，
经过
旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点
.已知
求截口ABC所在椭圆的方程。(精确到0.1cm)
练习
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为
在 中，
由椭圆的性质知，
所以，
所以，所求的椭圆方程为
例题

动点M（x.y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：
的距离的比是常数 ，求动点M 的轨迹
例题
如图,设d是点M到直线l： 的距离,
根据题意，动点M的轨迹集合
由此得
将上式两边平方，并化简，得
即
所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆
例题
一般地，若点M（x,y）与定点
的距离和它到定直线l:
的距离之比为常数
则点M的轨迹是椭圆.定点
是椭圆的一个焦点，
直线l叫做椭圆的准线.

拓展：椭圆的第二定义
设M 是椭圆上任意一点，则
对左焦点和左准线有：
对右焦点和右准线有：
拓展：椭圆的第二定义
掌握椭圆第二定义的意义和应用
椭圆的第二定义
如图,已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：
m为何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点？
（2）有且仅有一个公共点？
（3）没有公共点？
例题
分析：直线l与椭圆C 的公共点的个数与方程组
解的个数相对应.
所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答
解：由方程组
消去y，得
①
方程①的根的判别式
由 ，得
由 ，得
由 ，得
此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点
此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点
此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C 没有公共点

或
例题
1.求下列直线与椭圆的交点坐标
练习
2.经过椭圆 的左焦点
作倾斜角为 的直线l,
直线l与椭圆相交于A，B 两点，求线段AB 的长
练习
1.如果点M（x,y）在运动过程中，总满足关系式
那么点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程
解：由点M（x,y）满足的关系式
以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以 为焦点，
长轴长为10的椭圆
它的方程是
习题
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点坐标分别为（0，-4），（0，4），a=5
（2）a+c=10,a-c=4
或
习题
3.求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形
（1）长轴长2a=8，短轴长2b=4，离心率 ，
焦点坐标分别是
顶点坐标分别是
（2）长轴长2a=18，短轴长2b=6，离心率 ，
顶点坐标分别是
焦点坐标分别是
（0，-9），（0，9），（-3，0），（3，0）
习题
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）经过 两点
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0）
（3）焦距是8，离心率等于0.8
或
或
习题
5.已知P是椭圆 上的一点，且以点P及焦点 为顶点的
三角形的面积等于1，
求点P 的坐标
解：由已知，椭圆的焦距
因为 的面积等于1，所以，
解得
代入椭圆的方程，得
解得
所以，点P 的坐标是 ，共有4个
习题
6.如图，圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆O上任意一点.
线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q
的轨迹是什么？ 为什么？
解：如图，连接QA
由已知，得|QA|=|QP|
所以，|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆
习题
7.慧星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个
焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486 天文单
位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳
到地球的平均距离，约
），且近日点、远日点及太阳中心
线上，求轨迹方程.
在同一条直
习题
8.点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，求点M
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形
解：设d到点M到直线x=8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
由此得
将上式两边平方，并化简，得
即
所以，点M的轨迹是长轴，短轴长分别是8， 的椭圆
习题
9.如图, ，垂足为D，点M 在DP 的延长线上，且
轴
当点P在圆 上运动时，
并说明轨迹的形状
求点M 的轨迹
方程,
习题
解：设点M 的坐标为(x,y),点P的坐标为 ，则
所以，
因为点P 在圆上，所以
①
②
将①代入②，得点M 的轨迹方程为
即
所以点M 的轨迹是一个椭圆.
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到
习题
10.一动圆与圆
外切，同时与圆
内切,
求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
设动圆圆心为P（x,y）,半径为R，两已知圆的圆心分别为
分别将两已知圆的方程
配方，得
①②两式的两边分别相加，得
化简方程③，先移项，再两边分别平方，并整理，得
将④两边分别平方，并整理，得
将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得
由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长为12，
习题
10.一动圆与圆
外切，同时与圆
内切,
求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.




习题
解法二：同解法一，得方程
由方程①可知，动圆圆心P（x,y）到点
的距离的和是常数12，所以点P 的轨迹是焦点为（-3，0），（3，0）
，长轴长等于12 的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在
x 轴上，于是可求出它的标准方程.
因为 2c=6,2a=12, 所以 c=3,a=6,
于是，动圆圆心的轨迹方程为
所以
11.如图，矩形ABCD中， E，F，G，H分别是
是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF 的四等分点， 是线段CF 的四
、ES与
ET与 的交点L，M，N 都
在椭圆
上



习题
等分点.证明直线ER与
11.如图，矩形ABCD中， E，F，G，H分别是
是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF 的四等分点， 是线段CF 的四
、ES与
ET与 的交点L，M，N 都
在椭圆
上

解：如图，由已知，得E(0，-3)，F(4，0)，G(0，3)，H(-4，0).
因为R，S，T是线段OF 的四等分点， 是线段CF 的四等分点
所以，R(1，0)，S(2，0)，T(3，0)；
直线ER的方程是y=3x-3；
直线 的方程是
联立这两个方程，解得
所以，点L的坐标为
同样，点M 的坐标为
点N 的坐标为
习题
等分点.证明直线ER与
11.如图，矩形ABCD中， E，F，G，H分别是
是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF 的四等分点， 是线段CF 的四
、ES与
ET与 的交点L，M，N 都
在椭圆
上




习题
等分点.证明直线ER与
由作图可见，可以设椭圆的方程为
把点L，M 的坐标代入方程①，并解方程组，得
所以经过点L，M 的椭圆方程为
把点N 的坐标代入 ，得
所以点N 在椭圆 上
因此点L，M 都在椭圆 上
12.已知地球运行的轨道是长半轴长 ，离心率 的椭圆，
且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离
地球到太阳的最大距离为
，最小距离为
习题
13.已知椭圆 ，直线l: 4x-5y+40.椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？
习题
14.已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是
(1)这组直线何时与椭圆相交？
(2)当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截的线段的中点在同一条直线
解：设这组平行线的方程为
把 带入椭圆方程 ，得
这个方程根的判别式
（1）由 ，得
当这组直线在y轴上的截距的取值范围是 时，直线与椭圆相交

（2）设直线与椭圆相交得到线段AB，并设线段AB的中点为
则
因为点M 在直线 上，与
联立，消去m, 得3x+2y=0
这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上
习题
上.
1.焦半径公式
时， 最大为
时， 最小为
时， 最小为
时， 最大为
a+c
a-c
a+c
a-c
拓展：焦点三角形
（1）周长=2c+2a;
（2）面积=
最大面积=bc;
（3）越靠近短轴顶点时， 越大;
（4）
拓展：焦点三角形
椭圆 的两个焦点为 ,点P 在椭圆上，若
则点P 到 x 轴的距离为

拓展：焦点三角形
解： 椭圆方程 ，
可得
设
得
则有
的面积
设点I 到 x 轴的距离为h,则
故答案为：
拓展：焦点三角形
即
椭圆 的两个焦点为 ,点P 在椭圆上，若
则点P 到 x 轴的距离为
（1）椭圆 的焦点为 ，点P
在椭圆上，若
则 的大小为
（2）已知椭圆 中，点P是椭圆上一点，
焦点，且
，则 的面积为
拓展：焦点三角形
是椭圆的
[解析] (1)由 ,知 ，
拓展：焦点三角形
（2）由 ，可知 ，所以 ，从而
|
|

=2c=2.
在 中，由余弦定理得
①
②
由椭圆定义得
即
由①②联立可得
所以
拓展：焦点三角形
掌握焦点三角形的基本性质和用法
椭圆的焦点三角形


随堂试题

2


C
随堂试题


·
A.2 B.3 C.6 D.8

（1）C （2）7
随堂试题
5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴
长的和为 ，离心率为 ，则椭圆的标准方程为
或
随堂试题
椭圆
1.椭圆的定义
2.椭圆标准方程的建立
3.椭圆的简单几何性质：x，y的取值范围；对称性；顶点；离心率
4.焦点三角形性质的应用
总结