6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课件（73张PPT）

(共73张PPT)
平面向量的基本定理及坐标表示
教学目标
理解平面向量基本定理，平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
掌握平面向量的坐标表示与坐标运算；
会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
掌握平面向量数量积的坐标表示与坐标运算
掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
利用坐标求向量的模长、夹角等
教学重点
教学难点
灵活应用平面向量基本定理：在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
根据向量的坐标，判断向量是否共线.
掌握向量垂直的坐标表示的充要条件
利用坐标求向量的模长、夹角等
平面向量基本定理的理解与应用.
三点共线原理的理解和应用
向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
前情回顾
1.向量加减运算
（1）向量加法的两个法则
三角形法则：首尾相接连端点；
平行四边形法则：起点相同连对角.
（2）向量减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
b－a＝b＋（ －a ）
2.数乘运算
前情回顾
（1）数乘运算的性质
|λa|=|λ||a|；
λ>0时,λa与a方向相同；
λ<0时,λa与a方向相反；
λ=0时,λa =0.
（2）数乘运算运算律
λ（μa）=（λμ）a；
（λ+μ）a=λa+μa；
λ（a+b）=λa+λb
前情回顾
定理的应用：
（1）证明向量共线
（2）证明三点共线: AB=λBC →A,B,C三点共线
（3）两直线平行:
AB=λCD →AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
→
前情回顾
平面向量数量积的运算律：
（1）交换律:
（2）数乘结合律:
（3）分配律:
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？
在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论。
探究：平面向量基本定理
问题1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
3e1＋2e2
e1-2e2
探究：平面向量基本定理
探究：平面向量基本定理
问题3：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
探究：平面向量基本定理
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
平面向量基本定理
【解答】
牛刀小试
②
思考
1.一平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
（可以不同，也可以相同）
几点说明：
（1） 基底不变，平面内的任意向量都可以由这两个作为基底的向量表示。
（2） 平面内的任意向量不变，表示这个向量的基底可以有无数组。
（3） 当平面的任意向量与一个基底共线时，这个向量也可以由基底表示出来。
“这个定理实际上就告诉了我们平面内的任意向量通过平行四边形法则都可以分解成两个向量的和向量。”
举例：火箭在飞行过程中某一时刻的速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度等。
例题精讲
变式
例题精讲
A.
B.
C.
D.
【解答】
A
例题精讲
若在上式中，若t=1/2,
则可得到什么结论？
“线段AB的中点的向量表达式”。
结论：
1. P在A,B确定的直线L上，基底向量 的系数和是1。
2.对L上一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式。
对每一个数值t，在直线L上都有唯一的一个点P与之对应。
三点共线的方法
C
B
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一。
平面向量基本定理
三点共线的向量表示
随堂练习
随堂练习
随堂练习
D
随堂练习
小结
1.平面向量基本定理。
（1）基底确定，能以唯一的表示平面内任意向量。
（2）基底选取不同，表示向量的实数对不唯一。
2.三点共线原理
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
问题2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
对于平面内的一个向量a，
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
a＝xi＋yj.
我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量
的坐标表示.
如图，分别用基底{i，j}表示向量a,b d，并求出它们的坐标。
例题精讲
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），你能得出a+b，a-b的坐标吗？
思考
a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）
= x1i+y1j+x2i+y2j
=（x1+x2）i+（y1+y2）j,
即 a+b=（x1+x2，y1+y2）
同理可得a-b=（x1-x2，y1-y2）
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
已知a=（2,1），b=（-3,4），求a+b，a-b的坐标
例题精讲
解：a+b=（2,1）+（-3,4）=（-1,5），
a-b=（2,1）-（-3,4）=（5，-3）
例题精讲
随堂练习
在下列各小题中，已知向量a,b的坐标，分别求a+b，a-b的坐标：
（1）a=（-2，4），b=（5，2）；
（2）a=（4，3），b=（-3，8）；
（3）a=（2，3），b=（-2，-3）；
（4）a=（3，0），b=（0，4）
（3，6）
（-7，2）
（1，11）
（7，-5）
（0，0）
（4，6）
（3，4）
（3，-4）
随堂练习
（3，4）
（-3，-4）
（9，-1）
（-9，1）
（0，2）
（0，-2）
（5，0）
（-5，0）
若点A（0,1），B（1.0），C（1.2），D（2,1），则AB与CD有什么位置关系？证明你的猜想。
随堂练习
AB∥CD
思考
已知a=（2,1），b=（-3,4），求3a+4b的坐标
例题精讲
（-6,19）
如何用坐标表示两个向量共线的条件？
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0.我们知道，a,b共线的充要条件是存在实数λ，
使a=λb
如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）=λ（x2，y2）
即x1=λx2，y1=λy2
消去λ，得
x1y2-x2y1=0
这就是说，向量a,b（b≠0）共线的充要条件是
x1y2-x2y1=0
例题精讲
已知a=（4,2），b=（6，y），且a∥b，求y。
y=3
已知A（-1，-1），B（1,3），C（2,5），判断A,B C三点之间的位置关系。
例题精讲
A，B，C三点共线
A.
B.
C.
D.
【解答】
牛刀小试
A
例题精讲
设P是线段P1P2上的一点，点P1P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
向量的坐标线性运算
平行向量
已知a=（3,2），b=（0，-1），求-2a+4b，4a+3b的坐标。
随堂练习
（-6，-8）；（12，5）
当x为何值时，a=（2，3）与b=（x，-6）共线？
例题精讲
x=-4
例题精讲
共线
求线段AB的中点坐标：
（1）A（2，1），B（4，3）；
（2）A（-1，2），B（3，6）；
（3）A（5，-4），B（3，-6）
例题精讲
（3,2）
（1,4）
（4，-5）
例题精讲
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？
若点A（1,2），B（2,3），C（-2,5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想。
例题精讲
△ABC是直角三角形
牛刀小试
A
【解答】
牛刀小试
设a=（5，-7），b=（-6，-4），求a·b及a,b的夹角θ（精确到1°）
例题精讲
牛刀小试
B
例题精讲
提示：作单位圆，用向量数量积的坐标
数量积的坐标运算
向量夹角的坐标运算
已知a=（-3,4），b=（5,2），求|a|，|b|，a·b。
随堂练习
-7
随堂练习
8，-7,0,49
随堂练习
已知a=（3,2），b=（5，一7），利用计算工具，求a与b的夹角θ（精确到1°）。