7.2 复数的四则运算 课件（31张PPT）

(共31张PPT)
复数的四则运算
掌握复数代数形式的加法、减法、乘法和除法的运算及意义；
由实数的运算法则来研究复数的运算规律。
教学目标
复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律，以及复数加、减运算的几何意义
复数减法、除法的运算法则
教学重点
教学难点
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
复数的四则运算
复数的加法满足交换律、结合律吗？
容易得到，对任意z1，z2，z3∈C，有
z1+z2=z2+z1，
（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）
复数加法的几何意义：
设OZ1，OZ2分别与复数a+bi,c+di对应，则OZ1=（a,b），OZ1=（c,d），由平面向量的坐标运算法则，得
OZ1+OZ2=（a+c,b=d）
这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a+c）+（b+d）i 对应的向量。因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义
2.复数的减法
我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减
（a+bi）-(c+di)=（a-c）+（b-d）i
复数减法的几何意义：
类比复数加法的几何意义，你得出复数减法的几何意义吗？
复数的减法相当于复平面上的向量相减，所得新的向量对应复数即为减法后的结果。
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离
解：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数分 别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离 |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|
=|(x2-x1)+(y2-y1)i|
=
1.计算
（1）（2+4i）+（3-4i）；
（2） 5-（3+2i）；
（3）（-3 - 4i）+（2+i）-（1-5i）
（4）（2-i）-（2+3i）+4i
1.（1）5； （2）2-2i； （3）-2+2i （4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i
（1）z+1=-2+3i+1=-1+3i
综上所述，结论是：-1+3i
（2）z-i=-2+3i-1=-2+2i
综上所述，结论是：-2+2i
（1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i
综上所述，结论是：-4+4i
3.证明复数的加法满足交换律、结合律
设： z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b1i.
(1) 因为
z1+ z2=（a1+b1i）+（a2+b2i）
=（a1+a2）+（b1+b2）i，
z2+ z1=（a2+b2i）+（a1+b1i）
=（a2+a1）+（b2+b1）i
又因为a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1，所以
z1+ z2=z2+ z1
（2）因为 (z1+z2)+z3 =[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3i)
=[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i,
z1+(z2+z1) =(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i
= [a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i.
又因为(a1+a2)+a1=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3)，所以
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.证明复数的加法满足交换律、结合律
4,求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：（1）z1=2+i, z2=3-i； （2）z3=8+5i，z4=4+2i
解:
(1) ∵ z1=2+i，z2=3-i，
∴ z1-z2=(2+i)-(3-i)=-1+2i，
∴ z1,z2对应的两点之间的距离为：
|z1-z2|=|-1+2i|= =
(2) ∵ z3=8+5i，z4=4+2i，
∴ z3-z4=8+5i-(4-2i)=4+3i，
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|= =5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd
=(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的乘法满足交换律，结合律，对加法满足分配律
容易得到，对于任意z1，z2，z3∈C，有
z1z2 = z2z1，
(z1z2)z3 = z1(z2z3)，
z1(z2+z3) =z1z2+z1z3.
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i).
解：
(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i
计算：（1）（2+3i)(2-3i）； （2）
解：（1）（2+3i)(2-3i）
=22-（3i）
=4-（-9）
=13
（2） = 1+2i+
=1+2i-1
=2i
4.复数的除法
复数除法的法则是 (a+bi)÷(c+di)= + i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）。由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”
计算 (1+2i)÷(3-4i).
解：
(1+2i)÷(3-4i)=

= =
= =
在复数范围内解下列方程: （1） +2=0
（2）a +bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，△= -4ac<0
解：（1）因为( =(- =-2，所以方程 +2=0的根为 x=±

（2）将方程a +bx+c=0的二次项系数化为1，得

配方，得 即

由△<0，知 类似(1), 可得

所以原方程的根为
在复数范围内，实系数一元二次方程a +bx+c=0（a≠0）的求根公式为
（1）当Δ≥0时，
（2）当Δ<0时，
复数的四则运算
1.计算：
（1）(7-6i)(-3i)；
（2）(3+4i)(-2-3i);
（3）(1+2i)(3-4i)(-2-i)
（1）-18-21i ； （2）6-17i； （3）-20-15i.
2.计算：
（1）（ + i)(- + i）；
（2） ;
（3） i(2-i)(1-2i）
答案：（1）-5 （2）-2i （3）5
3.计算
（1） （2）

（3） （4）
答案：（1）i； （2）-i ; （3）1-i； （4）-1-3i
4.在复数范围内解下列方程 (1) 9 +16=0；（2） +x+1=0.
解:
(1) ∵ 9 +16=0, =
∴ x=
(2) ∵ +x+1=0 ，
∴ ，

∴ , ∴
已知复数 z 满足 （其中i为虚数单位，则 =( )
A. B . C. D.
|
|
解：∵ ， |z| = ，|z|=2，

则 =
故选：B.
∴
|
|
设复数z=a+bi(a,b ∈R)，若 ，则z=（ ）
A. B. C. D.
C
解:


故选：C
∵
∴
∴
复数 的虚部是（ ）
A. i B. -i C. 1 D. -1
解：
则复数 的虚部是 1
故选：C
C
已知 ，则 = （ ）
A. B. C. 2 D.
|z-2i|
解：由 =

得 =|2i|=2
故选：C
|z-2i|
C
总结
复数的四则运算
复数的加法
复数的减法
复数的乘法
复数的除法
总结