江苏省涟水一中2012-2013学年高二下学期期初检测数学试题

一、填空题
1．抛物线的准线方程为 ．
2．过点P(－3，－2)且与圆：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的直线方程是 .
3．若椭圆的离心率为，则为 ．
4．不等式的解集是
5．若数列满足：则
6．已知变量满足 则的最小值是
7．在等差数列｛｝中，则
8．函数的定义域是
9．如果，那么的最小值是
10．在△ABC中，若，则△ABC的形状为
11．在等差数列中，，则公差d为 .
12．在等差数列中，，前项和为，则= .
13．等比数列中，已知，且为递增数列，
则________.
14．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值
为________.
二、解答题
15．已知数列前项和.数列满足，数列满足。（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。
16．数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且，．
求：（1）数列的公差；
（2）前项和的最大值；
（3）当时，求的最大值．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值.
18．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC=AB，BC交⊙O于点D.
已知BC=4，AD=6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长.
19．已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别
是,点的纵坐标为且点在线段上，过点作圆的切线,切点为
（1）若，，求直线的方程；
（2）经过三点的圆的圆心是，
①将表示成的函数，并写出定义域．
②求线段长的最小值
20．如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2和短轴的一个端点A构成等边三角形，
点(，)在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 点P是椭圆C上的动点，PQ ⊥l，垂足为Q．
是否存在点P，使得△F1PQ为等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案
1．y=-1
2．x＝－3或3x－4y＋1＝0
3．3或
4．
5．19
6．2
7．
8．(-3,4)
9．18
10．等腰三角形
11．-5
12．45
13．8
14．2
15． 解：（1）由已知和得，当时，

又，符合上式。故数列的通项公式。
又∵，∴，
故数列的通项公式为，
（2），
，
，
①-②得
，
∴ 。
（3）∵,
∴
,
当时，；当时，，∴。
若对一切正整数恒成立，则即可，
∴ …………16分
16．解：(1)由，得：，所以，
因为公差为整数，所以
(2)由（1）易知，<0, ,,
所以前6项和最大，最大为S6=78。
(3) 由Sn=23n+=得：，又n∈N*，
所以n的最大值为12．
17．解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，4），易证为面PAC的法向量，则
设面PBC的法向量，
，
所以
所以面PBC的法向量
∴
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B－PC－A的余弦值为.
18．解：AB=AC=
∴，则
∴DE=2
∴四边形ABDE的周长
19．解：（1）
解得或（舍去）.
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或
（2）①
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
的坐标是
()
②当，即时，
当，即时，
当，即时
则.
20．解：（1）椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF1F2为正三角形，所以
sin∠AF1O＝＝，所以＝，＝．
设b2＝3λ，a2＝4λ，椭圆方程为＋＝λ．
椭圆经过点(， )，解得λ＝1，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1．
（2）由＝e＝，得PF1＝PQ．所以PF1≠PQ．
①若PF1＝F1Q，则PF1＋F1Q＝PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，
所以PF1不可能与PQ相等
②若F1Q＝PQ，设P(x，y)(x≠±2)，则Q(－4，y)．∴＝4＋x，
∴9＋y2＝16＋8x＋x2，又由＋＝1，得y2＝3－x2．
∴9＋3－x2＝16＋8x＋x2，∴x2＋8x＋4＝0．
∴7x2＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．
因为x∈(－2， 2)，所以x＝－．所以P(－，±)．
存在点P(－，±)，使△PF1Q为等腰三角形