江苏省涟水一中2013届高三下学期期初检测数学试题

一、填空题
1．函数的单调递减区间是__________．
2．函数的单调减区间是
3．圆的极坐标方程为，则该圆的半径为________．
4．设的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若h+ t=272，则二项展开式为x2项的系数为
5．15
的最小值为

6．函数的定义域是 .
7．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，
则截面圆的面积为__________．
8． 已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点的圆的切线的极坐标方程为 ．
9．已知，那么= ▲
10．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
11．已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________
12．已知__________
13．函数是_____________函数。（填“奇”、“偶”）
14．函数 的导数为 。
二、解答题
15． 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
16．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已知米，米．
（1）设（单位：米），要使花坛的面积大于9平方米，求的取值范围；
（2）若（单位：米），则当，的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积．
17．已知，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围。
18．已知椭圆的焦点坐标为，椭圆经过点
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆左顶点M（-a，0）与直线上点N的直线交椭圆于点P，求的值。
（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线交椭圆于A、B两点，点，若的斜率无关，求t的值
19．设函数
（1）试用含a的代数式表示b，
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=-1，设函数f（x）在处取得极值，记点，证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点。
20．对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
参考答案
1．（0，1）
2．；
3．
4．1
5．
6．
7．π
8．
9．20
10．
11．
12．
13．奇
14．
15．解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即 轴，它正好与抛物线相切。
当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
设所求的过点的直线为则
， 令解得所求直线为
综上，满足条件的直线为：
16解：（1）设花坛的面积为
， ……………2分
要使花坛面积大于9，即，解得 …………2分
（2） ……………………………………………2分
可知在上递减，在上递增，又， ……2分
所以当时，，
即当时，花坛面积最大为9平方米。 ……2分
17．(1)
(2)
18．
（1）
（2）2
（3）1
19．解：解法一：（I）依题意，得
由
（II）由（I）得
故
令
①当
当的变化情况如下表：
+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数，
单调减区间为
②由恒成立，
且仅在故函数的单调区间为R
③当，
同理可得函数的单调增区间为
单调减区间为
综上：
当的单调增区间为，
单调减区间为；
当的单调增区间为R；
当，函数的单调增区间为，
单调减区间为；
（III）当
由（II）得的单调增区间为，单调减区间为（—1，3）
所以函数处取得极值。
故
所以直线MN的方程为
由
令
易得的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线，
故在（0，2）内存在零点，这表明线段MN与曲线有异于M，N的公共点。
20．解 （1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，。。。。2分
由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3 。。。。6分
故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3 。。。。7分
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，
∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，
即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根。。。。。9分
∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 。。。。。11分
于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1。。。。13分
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1 。。。。。。12分