(共22张PPT)
6.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
学习目标
1.探索并掌握平行四边形对角线性质；(重点)
2.灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
平行四边形的对角线的性质
一
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
这个结论正确吗？
讲授新课
A
B
C
D
O
量一量
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确
这个方法准确吗？
验一验
几何画板验证（点击）
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
证一证
已知：如图： □ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
要点归纳
平行四边形的性质
应用格式：
1. △ABO≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ ABD ≌ △CDB，
△ ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
A
C
D
B
O
重要结论
A
C
D
B
O
●
其实四块蛋糕是一样大的．
典例解析
例1 在□ABCD中，AC与BD交于点O,OA=12cm,
OB=19cm,则AC= cm,
BD= cm.
B
C
D
A
O
24
38
59
8
变式3 在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
例2 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5
∵AB⊥AC
∴△ABC是直角三角形
AO= AC=2
∴BD=2BO=
例3 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于
点E、F，求证：OE=OF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ DO=BO，AD∥BC.
∴ ∠ODE=∠OBF.
∴ △DOE≌△BOF（ASA）.
∴ OE=OF.
∵ ∠DOE=∠BOF，
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
●
●
议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下
图（3）的位置时，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积．
归纳总结
如图， □ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O，过点0的直线与AD、BC分别相交于点E、F，已知□ ABCD 的面积是12cm2,则图中阴影部分的面积是 .。
试一试
6 cm2
1.如图， □ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A. 10 B. 14
C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A.对边相等 B. 对角相等
C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形
D
当堂练习
3.如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD，交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC的长为 .
10
A
B
C
D
E
F
□
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵OA=OC
∴
∴
？
？
？
∵四边形ABCD是平行四边形.
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF.
求证:BE=DF.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
A
B
C
D
O
E
F
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质
课堂总结(共15张PPT)
6.1 平行四边形的性质
第六章 平行四边形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识要点
1.平行四边形对角线的性质
新知导入
想一想：
平行四边形的性质：对边平行且相等；
对角相等，邻角互补.
我们上节课学行四边形的边、角特征
课程讲授
1
平行四边形对角线的性质
探究：
猜想：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD.
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系 你能证明发
现的结论吗？
课程讲授
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
平行四边形对角线的性质
课程讲授
归纳：对角线的性质：平行四边形的对角线互
相平分．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
1
平行四边形对角线的性质
2
平行四边形的面积
课程讲授
例 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ DO=BO，AD∥BC.
∴ ∠ODE=∠OBF.
∴ △DOE≌△BOF（ASA）.
∴ OE=OF.
∵ ∠DOE=∠BOF，
A
B
C
D
O
E
F
（中考·泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A．10
B．14
C．20
D．22
课程讲授
练一练：
B
1
平行四边形对角线的性质
1
平行四边形对角线的性质
课程讲授
归纳：重要结论
1. △ABO≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ ABD ≌ △CDB，
△ ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
2
平行四边形的面积
课程讲授
练一练：
如图， □ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F，已知□ ABCD 的面积是12cm2,则图中阴影部分的面积是 .。
6 cm2
随堂练习
1.（中考·眉山）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
C
随堂练习
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
随堂练习
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为
( )
A．3
B．6
C．12
D．24
C
随堂练习
4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
课堂小结
平行四边形
对角线的性质
对角线互相平分(共7张PPT)
第六章 平行四边形
6.1 平行四边形的性质（2）
1.平行四边形都有哪些性质？
2．选一选：
（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，
则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，△ABC的
周长为25cm, 则对角线AC长为（ ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
（3）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，
则全等三角形的对数有
温故知新
新知学习
在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？
做一做 已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、
BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD AB//DC
∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO
∴ △AOB≌△COD
∴ OA=OC,OB=OD.
例1.如图6-5，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.
求证:OE=OF.
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC OA=OC
∴ ∠DAC=∠ACB
又∵ ∠AOE=∠COF
∴ △AOE≌△COF
∴ OE=OF
练：平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
OA=OC，OB=OD
又∵OA=3cm， OB=4cm， AB=5cm
∴AC=6cm BD=8cm CD=5cm
∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2
∴∠AOB =90°
∴AC⊥BD
∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2
∴AD=5cm，BC=5cm,
平行四边形的对角线互相平分
课堂小结
B
D
C
A
o
结束
