数学北师大版（2019）必修第二册 4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
课标阐释
1.能利用三角函数的定义与向量知识推导出两角差的余弦公式.(数学抽象)
2.掌握两角和与差的余弦公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)
3.体会公式运用中一般与特殊的转化关系.(数学运算)
思维脉络
我们知道实数满足一种运算律a(b-c)=ab-ac,余弦也是一种运算,那么cos(α-β)=cos α-cos β是否成立呢 对于这个问题我们可以用特殊值验证一下.如cos 15°=cos(45°-30°),由余弦函数的单调性知
那么cos(α-β)到底等于什么呢 是否与角α,β的三角函数值有关呢 这便是本节课要研究的问题.
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知识点拨
一、两角差的余弦公式
角α,β的终边与单位圆的交点分别为A,B,那么A,B的坐标是什么
图(1)
图(2)
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两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,记作Cα-β.
名师点析公式中的角α,β是任意的.要注意公式的逆用、变形应用.两角差的余弦值等于两角的余弦之积加上正弦之积.
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微思考1
cos 60°-cos 30°=cos(60°-30°)成立吗
提示不成立.
微思考2
cos α-cos β=cos(α-β)成立吗
提示不一定.
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答案B
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微练习2
求值:cos 79°cos 19°+sin 79°sin 19°=　　　　　　.
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二、两角和的余弦公式
把公式cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β中的β用-β代替,得到
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
名师点析公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、变形应用.两角和的余弦值等于两角的余弦之积减去正弦之积.
名称 公　式 简记符号 条件
两角和 的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β Cα+β α,β∈R
两角差 的余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β Cα-β
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微思考
在cos(α±β)的公式中,α,β可以是几个角的组合吗
提示可以.
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答案C
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利用两角和与差的余弦公式解决给角求值问题
例1求下列各式的值:
(1)cos(-375°);
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°;
(3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;
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反思感悟 利用公式C(α-β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值.在转化过程中,要充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.
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变式训练1求值:
(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°;
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).
解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°
=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°)
=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
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利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题
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反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
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利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题
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反思感悟 解决三角函数给值求角问题的方法步骤
(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
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1.cos 50°=(　　)
A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°
B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°
C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°
D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°
解析cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°.
答案C
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答案C
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