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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
七年级数学下册同步课件（人教版）
1.经历探索三元一次方程组的解法的过程；
2.会解三元一次方程组；
3.能利用三元一次方程组解决简单的实际问题.
学习目标
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？有几个相等关系？
探究新知
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
分析：
（1）这个问题中包含有 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.
（2）这个问题中包含有 个未知数：
1元、2元、5元纸币的张数.
三
三
探究新知
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
你能根据等量关系列出方程吗？
探究新知
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
探究新知
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
x+y+z=12，
x=4y，
x+2y+5z=22.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
探究新知
如何解三元一次方程组呢？
x+y+z=12，
x=4y，
x+2y+5z=22.
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
探究新知
【例】解三元一次方程组
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
分析：方程①中只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
例题讲解
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
3x＋4z=7，
11x＋10z=35.
x=5，
z=-2.
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，这个三元一次方程组的解为
例题讲解
1.解方程组 ,则x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
课堂练习
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
课堂练习
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，
c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
课堂练习
4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
课堂练习
1.三元一次方程组的解法
2.三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握：
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php*8．4 三元一次方程组的解法
教学目标
知识与技能
1．会解三元一次方程组．
2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．
教学重点
掌握三元一次方程组的解法．
教学难点
三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．
教学过程
一、情景导入
老师出示下列问题：
有人问甲、乙、丙三人的年龄，甲说：“我们三个人的年龄之和是26.”乙说：“甲的年龄的两倍再加上我的年龄就要比丙大18.”丙说：“我比甲小1岁．”聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗？
学生在老师的引导下独立思考后合作交流，思考以下问题：
1.选用什么数学工具来解呢？
2.设哪些量为未知数呢？
在小组内说一说自己的解法，与组内的同学达成共识．
二、新课教授
教师引导学生在完成上述问题的基础上，出示下列问题：
刚才这一问题，如果我们不设两个未知数，只设一个未知数，用一元一次方程能否求解呢？
学生能由教师的引导，认真地分析题意，找出能概括问题全部含义的三个等量关系并能设出未知数：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁，由题意得出方程组
学生在教师的引导下，认真地观察这三个方程的特点，为此方程组下一个定义，然后分组讨论此方程组的基本解法，并能在组内交流三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法的区别，总结解方程组的基本思想是消元.
教师出示三元一次方程组的概念：这个方程组含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.（提示三元一次方程组与一元一次方程及二元一次方程组的关系）
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
例题讲解
教师出示本节课的例题：
学生在教师的引导下，独立分析、思考尝试使用多种不同的方法来解答此问题，对于不同的解法进行全班的交流，并能比较各种解法的优缺点，选择较为简便的方法完成练习题的解答.
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9.
所以y＝.
因此，三元一次方程组的解为
巩固练习
1.已知则x＋y＋z＝ .
2.方程组的解是 .
3.判断是不是三元一次方程组的解.
【答案】1.3 2. 3.是
课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结：
1.三元一次方程组的概念.
2.解三元一次方程组的基本思想及方法：三元二元一元.
教学反思
本节课教学效果一般，学生在学习了二元一次方程组解法的基础上学会了解简单的三元一次方程组，并了解了感受解三元一次方程组的基本思想是：“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．
