7.1.2复数的几何意义课件（25张PPT）

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数学（人教2019版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一　复平面
思考　有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
答案　不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
实轴
虚轴
知识点二　复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .
知识点三　复数的模
|z|或|a＋bi|
1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 .
知识点四　共轭复数
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(　　)
A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1)
做一做:
探究一 复数与复平面内的点一一对应
【例1】 (1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示.
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【变式训练1】 当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+ (m2+3m-28)i在复平面内的对应点:
(1)位于第四象限内
(2)位于x轴负半轴上
(3)在上半平面(含实轴)
(3)要使点位于上半平面(含实轴),需m2+3m-28≥0,
解得m≥4或m≤-7.
探究二 复数与复平面内的向量一一对应
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
探究三 复数的模
【例3】 (1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
(2)设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,且|z|=3,则点Z的集合是　　　　　图形.
答案:(1)B　(2)以原点O为圆心,以3为半径的圆
1.利用模的定义,得到关于a的不等式,与利用复数相等的充要条件一样,都贯彻了复数问题实数化的思想,这是本章的一种重要思想方法.
2.从几何意义上理解,复数的模表示复数对应的点到原点的距离,所以|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.
将本例(2)中的条件改为“1≤|z|<3”,求满足条件的点Z的集合是什么图形
不等式|z|<3的解集是圆|z|=3的内部所有的点组成的集合,不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及圆外部所有的点组成的集合,所以满足条件1≤|z|<3的点Z的集合是以原点O为圆心,以1及3为半径的两个圆所夹的圆环,不包括大圆周,如图阴影部分所示.
对复数与复平面内向量的对应关系理解不到位致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解中把向量的平移当成了点的平移,忽视了向量作平移变换后,两个向量仍然相等,从而两向量对应的复数不变.
答案:1+I
1.向量平移后,虽然向量的起点和终点都平移了,但所得向量的坐标不变,即向量作平移变换后,所得向量与原向量相等.
2.向量坐标的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部.
【变式训练】 在复平面内,向量 对应的复数是1-i,将点P向左平移一个单位后得点P0,则点P0对应的复数是　　　　.
解析:P(1,-1)向左平移一个单位至P0(0,-1),对应的复数为-i.
答案:-i
1.知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
(2)复数的模及几何意义.
(3)共轭复数.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合.
3.虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；
|z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
【课堂练习】课本P73练习1.2.3
【课后作业】课本P73习题7.1第6题