高中数学人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用 第六章学业水平测试(A卷)（word版含答案）

第六章学业水平测试(A卷)
(时间90分，满分100分)
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则a＋b＝( )．
A．(－1，5) B．(1，5) C．(－1，－3) D．(1，3)
2．下列关系式正确的是( )．
A．＋＝0 B．·是一个向量
C．－＝ D．0·＝0
3．已知a＝(3，1)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于( )．
A． B． C．3 D．－3
4．平面向量a与b的夹角为，a＝(2，0)，∣b∣＝1，则∣a＋2b∣等于( )．
A． B． C．4 D．
5．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则∠A∶∠B∶∠C等于( )．
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
6．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足＋2＋4＝0，则
·＝( )．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
7．下列四式中能化简为的是( )．
A． B．
C． D．
8．在中，内角的对边分别为．下列四个结论正确的是( )．
A．若，则
B．若，则满足条件的三角形共有两个
C．若，且，则为正三角形
D．若，则
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．
9．若点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为________．
10．设向量a＝(2，λ),b＝(λ－1，1)，若a∥b，则λ＝________．
11．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．
12．已知△ABC中，∠A＝60°，最长边和最短边是方程x2－9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
13．在△ABC中，若b＝2csinB，则∠C＝________．
四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．(8分)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b边的长及S△ABC．
15．(10分)在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且ab＝bc＝ca，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
16．(10分)位于灯塔A处正西方向相距15n mile的B处有一艘甲船，需要海上加油．位于灯塔A处北偏东45°有一与灯塔A相距n mile的乙船(在C处)．求乙船前往支援B处的甲船航行的距离和方向(角度精确到1°)．
17．(10分)在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．
(1)求∠A的大小；
(2)若sin2A＋sin2B＝sin2C，求∠B的大小．
18．(10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若∣c∣＝2，且a∥c，求c的坐标；
(2)若∣b∣＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ．
参考答案
一、单项选择题
1．A．
2．D．
3．D．
4．A．
5．A．
6．C．
二、多项选择题
7．AD．
提示：，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
8．AC．
提示：由正弦定理的边化角公式可得，由于B为三角形的内角，则，故A正确．
由于，则，，即满足条件的三角形只有一个，故B错误．
由正弦定理的角化边公式得：．
又，所以．
所以，则△ABC为正三角形，故C正确．
由三角形面积公式得，解得，则，故D错误．故选AC．
三、填空题
9．(2，16)．
10．－1或2．
11．2．
12．．
提示：由“大边对大角”及∠A＝60°，可知边BC既不是最长边也不是最短边．由余弦定理，可得BC＝．
13．30°或150°．
四、解答题
14．解：由余弦定理可得b＝7，所以S△ABC＝．
15．解：因为ab＝bc，所以b(a－c)＝0．又在△ABC中，a＋b＋c＝0,所以b＝－(a＋c)．综上可得－(a＋c)(a－c)＝0，于是∣a∣＝∣c∣．同理可得∣a∣＝∣b∣．所以△ABC为正三角形．
16．解：根据题意，画出示意图如图，由余弦定理得
于是（n mile）．
由正弦定理得 ，所以．
因为，所以．
故乙船航行的距离为n mile，方向约为南偏西59°．
17．解：(1)在△ABC中，b2＋c2－a2＝2bccos A，且b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝．又∠A(0,π)，所以∠A＝．
(2)由sin2A＋sin2B＝sin2C及正弦定理，可得＋＝，即a2＋b2＝c2．故△ABC是以为直角的直角三角形，由此可得∠B＝．
18．解：(1)设c＝(x，y)，由∣c∣＝2，且a∥c，可得所以c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．
(2)若a＋2b与2a－b垂直，则(a＋2b)(2a－b)＝0，即2a2＋3ab－2b2＝0．于是ab＝，从而cosθ＝＝－1，所以θ＝π．
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