高中数学人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用 第六章学业水平测试(B卷) （word版含答案）

第六章学业水平测试(B卷)
(时间90分，满分100分)
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，且λa＋b与a垂直，则λ等于( )．
A． B．－1 C． 2 D．－2
2．已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD是( )．
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．已知∣a∣＝2，∣b∣＝3，∣a＋b∣＝，则∣a－b∣等于( )．
A． B． C． D．
4．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，∠B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是( )．
A．2＜x＜2 B．2＜x≤2 C．x＞2 D．x＜2
5．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )．
A． B．＜x＜5 C．2＜x＜ D．＜x＜5
6．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度等于( )．
(第6题)
A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
7．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是( )．
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
8．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且，，与交于点，则下列结论正确的是( )．
A． B．
C． D．在方向上的投影为
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．
9．设P(2，7)，Q(x，－3)，则与的夹角为钝角时，x的取值范围为_________．
10．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_________．
11．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且＝，当＝x＋y时，则x－y＝_________．
12．已知圆O的半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则的最大值是_________．
13．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．有以下五个命题：
①动点P满足＝＋＋，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．
⑤动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
其中所有正确命题的编号是________．
四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．(8分)在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且ab＝bc＝cd＝da，那么四边形ABCD是什么图形？
15．(10分)在△ABC中，已知a2－a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c－3，若sinC∶sinA＝4∶，求a，b，c．
16．(10分)设点A(2，2)，B(5，4),为坐标原点，点满足＝＋(为实数)．
(1)当点在x轴上时，求实数t的值；
(2)四边形能否是平行四边形？若是，求实数t的值；若不是，请说明理由．
17．(10分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)，n＝(cosA，sinB)，且m∥n．
(1)求角；
(2)若，求△ABC的面积．
18．(10分)如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距n mile的处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东 n mile处．
(1)求此时该外国船只与岛的距离；
(2)观测中发现，此外国船只正以每时 n mile的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离岛 n mile处，不让其进入岛 n mile内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)
参考答案
一、单项选择题
1．B．
2．B．
3．A．
4．A．
5．A．
6．C．
二、多项选择题
7．AC．
提示：由，利用正弦定理可得，
即，是等边三角形，A正确；
由正弦定理可得，或，
是等腰或直角三角形，B不正确；
由正弦定理可得，即，，
则是等腰三角形，C正确；
由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，D不正确．故选AC．
8．BCD．
提示：由题E为AB中点，则．
如图，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
所以．
设，
∥，所以，解得，
即O是CE中点，，所以选项B正确．
，所以选项C正确．
因为，，所以选项A错误．
，，在方向上的投影为，
所以选项D正确．故选BCD．
三、填空题
9．(－∞，)(，)．
10．2或．
11．．
12．6．
提示：不妨以为原点，建立平面直角坐标系，如图，圆的方程为．
不妨设A(，－1)，则B(，1)，＝(0，2)，设C(2cosθ，2sinθ)，则
＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，·＝2(2sinθ＋1)，显然当sinθ＝1时，·取得最大值6．
13．②③．
提示：①当动点P满足＝＋＋＝＋时，则点P是△ABC的重心，所以①不正确；②显然＋在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，所以△ABC的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；③变形为＝λ(＋)，而sinB，sinC表示点A到BC边的距离，设为AD，所以＝(＋)，而＋表示BC边的中线向量，所以表示 BC边的中线向量，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当∠A＝90°时，△ABC的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；⑤当BC的中点即为△ABC的外心时，公式显然不成立，所以⑤不正确．
四、解答题
14．解：因为ab＝bc，所以b(a－c)＝0，即b⊥(a－c)；同理可得d⊥(a－c)．
从而可得b∥d，同理可得a∥c，所以四边形ABCD是平行四边形．
又b⊥(a－c)，所以b⊥a，故四边形ABCD是矩形．
15．解：因为sinC∶sinA＝4∶，所以c∶a＝4∶．设c＝4，a＝，
则解得＝或＝1．又因＝时，b＜0，舍去．
所以＝1，a＝，b＝，c＝4．
16．解：(1)设点P(x，0)，＝(3,2)．因为＝＋t，
所以(x，0)＝(2，2)＋t(3，2)，即解得
(2)设点P(x，y)，假设四边形OABP是平行四边形，则有∥．于是可得．
又由∥，可得．联立可得 解得……①
又由＝＋，，得 …… ②
由①代入②，得 矛盾，所以假设是错误的，即四边形OABP不是平行四边形．
17．解：(1)因为m∥n，所以．
由正弦定理，得．
又，从而． 因为，所以．
(2)由余弦定理得，而，，，
得，即，因为，所以，
故△ABC的面积．
18．解：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°．由余弦定理得
DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos45°＝200，所以DB＝10，即此时该外国船只与岛的距离为 n mile．
(2)过点作于点．在Rt△ABC中，AC＝BC＝8，所以CD＝AD－AC＝6．以为圆心，为半径的圆交于点，连接AE，DE．
在Rt△DEC中，CE＝＝6，所以BE＝2．
又AE＝＝10，所以sin∠EAC＝＝，可得∠EAC≈36°52′．
由于外国船只到达点所用时间为t＝＝(时)，所以海监船的速度v≥＝20 (n mile/h)，航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20 n mile/h．
(第12题)
(第18题)
(第12题)
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