河南省南阳市2013届高三上学期期终质量评估数学（文）试题

南阳市2013届高三年级期终质量评估
数学试题（文）

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．、
1．复数z＝的虚部是
A．2 B．2i C．－2i D．－2
2．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正
（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，
俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是
（单位cm3）
A．π B．
C． D．
3．设实数x，y满足则x＋2y的最小值等于
A．3 B．6 C．9 D．12
4．有下列命题：
①设集合M＝{x｜0＜x≤3}, N＝{x｜0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必
要条件；
②命题“若a∈M，则bM”的逆否命题是：若b∈M，则aM；
③若p且q是假命题，则p，q都是假命题；
④命题P：“存在x0∈R, －－1＞0”的否定P：“任意x∈R，－x－1≤0”
则上述命题中为真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④
5．已知公差不为0的等差数列{}满足a1，a3，a4成等比数列，为{}的前n项和，则
的值为
A． B．2
C．3 D．4
6．如图给出的是计算＋＋＋……＋的值的一个程
序框图，其中判断框内应填入的条件是
A．i＞10? B．i＜10?
C．i＞20? D．i＜20?
7．双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
8．设A、B、C是圆上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ使＝λ＋μ，实数λ，μ的关系为
A． B． C． D．
9．将函数y＝f（x）cosx的图像向左平移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到函数y＝2－1的图像，则f（x）＝
A．－2cosx B．2cosx C．－2sinx D．2sinx
10．在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，AC＝AP＝2，PA⊥底面ABC,若P，A，B，C落在以O为球心的球面上，那么球O的体积为
A．8π B． C． D．π
11．已知[x]表示不超过x的最大整数，如： [－0.1]＝一1，[0．5]＝0，现从[]，[]，[]，[],…，[]中任取一个数，其中该数为奇数的概率为
A． B． C． D．
12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x＋4）＝f（x），且当x∈[－2，0]时，f（x）＝－1，若在区间（－2，6]内关于x的方程f（x）－＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
A．（1，2） B．（2，＋∞） C．（1，） D．（，2）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应位置．
13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方 法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．
14．已知函数f（x）＝则不等式f（x）＞0的解集为_____________．
15．设f（x）＝＋－bx＋1的导函数满足＝1，＝2，其中常数a，b∈R，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______________．
16．已知斜率为2的直线L过抛物线＝px（p＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若
△OAF（O为坐标原点）的面积为l，则P＝______________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝,
（1）求△ABC的周长；
（2）求cos（A＋C）的值．
18．（本题满分12分）
数列{}是等差数列，a1＝－2，a3＝2．
（1）求通项公式；
（2）若＝，求数列{(4＋)·}的前n项和．
19．（本题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
（1）求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20, a＝－b；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4
元／件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润＝销售收入－成本）
20．（本题满分12分）
已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．
（1）证明：BD∥平面EMF；
（2）证明：AC1⊥BD；
（3）当EF⊥AB时，求线段AC1的长，并判断三棱锥C1－ABD是否为正四面体．
21．（本题满分12分）
已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆E：（a＞b＞0）的其中一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．
22．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝ln（＋a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）＝
λf（x）＋sinx是区间[－1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程＝的根的个数；
（3）若g（x）≤＋1在x∈[－1，1]上恒成立，求t的取值范围．
数学（文）参考答案
一、选择题：1-5 DBACB 6-10 ACACB 11-12 DD
二、填空题： 13. 12 14. (-1，1) 15． x-y+3=0 16.___4___
三、解答题
17.解：（1）由余弦定理得，c=2，∴△ABC的周长为5. 5分
（2）由（1）得，cos(A+C)=-cosB=-cosC=. 10分
18.解：（1）an=2n-4 6分
（2）
利用错位相减法得， 12分
19.解：（1）由于，
所以，
从而回归直线方程为。 6分
（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得
当且仅当时，L取得最大值。
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。 12分
20.证明：(1)因为点F，M分别是C1D，C1B的中点，
所以FM∥BD.
又FM?平面EMF，BD平面EMF,
所以BD∥平面EMF. 4分
(2)在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，
则AC⊥BD.
所以在三棱锥C1-ABD中，C1O⊥BD,AO⊥BD.
又C1O∩AO=O,
所以BD⊥平面AOC1，
又AC1?平面AOC1，所以BD⊥AC1. 8分
(3)连接DE，C1E，在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60°,
所以△ABD是等边三角形.
所以DA=DB.
因为E为AB中点，所以DE⊥AB.
又EF⊥AB,EF∩DE=E，
所以AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1.
又C1E?平面DEC1，
所以AB⊥C1E.
因为AE=EB,AB=4,BC1=AB,
所以AC1=BC1=4. 11分
由此知，三棱锥是正四面体。 12分
21. 解：（1）由已知可设圆C的方程为，
将点A的坐标代入圆C的方程，得.
即，解得，
∵， ∴.
∴圆C的方程为. ……4分
（2）直线能与圆C相切，
依题意设直线的方程为，即，
若直线与圆C相切，则.
∴，解得. ……7分
当时，直线与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去.
当时，直线与x轴的交点横坐标为，
∴.
∴由椭圆的定义得：
，
∴， ∴ ，故直线能与圆相切.……10分
直线的方程为，椭圆E的方程为. ………12分
22．解：（1）是奇函数，则恒成立.

即 2分
（2）由（1）知
令，
，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，
而，
∴只有一个根. 6分
（3）又在[－1，1]上单调递减，
且∴
令则

. 12分