河南省南阳市2013届高三上学期期终质量评估数学（理）试题

南阳市2013届高三年级期终质量评估
数学试题（理）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P＝｛x｜2 ＋5x＜0,x∈Z｝，Q＝{0，a}，若P∩Q≠，则a等于
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－1或－2
2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝
A．－8 B．8 C．－4 D．4
3．已知函数f（x）＝2－｜x｜，则＝
A．3 B．4 C．3．5 D．4．5
4．若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的
常数项的值等于
A．8 B．16
C．80 D．70
5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是
A．2或2 B．－2或－2
C．2 或－2 D．2或－2
6．在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是
7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几
何体的外接球表面积是
A．π B．π
C．3π D．4π
8．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在
△PBC内的概率是
A． B． C． D．
9．已知双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1），则双曲线的焦距为
A．2 B．2 C．4 D．4
10．在一个容量为300的样本频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面 积由小到大构成等比数列{}，已知a2＝2a1，则小长方形面积最大的一组的频数为
A．80 B．120 C．160 D．200
11．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0, 1]时，f（x）＝x，那么在区间[－1,3]内关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）的根的个数
A．不可能有3个 B．最少有1个，最多有4个
C．最少有1个，最多有3个 D．最少有2个，最多有4个
12．已知A，B是椭圆（2＞b＞0）长轴的两个顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2且k1k2≠0，若｜k1｜＋｜k2｜的最小值为1，则椭圆方程中b的值为
A． B．1 C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应位置．
13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），则a的值为______________.
14．在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的
斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的
正弦值为，则AB与β所成的角是____________.
15．在平面直角坐标系中，不等式组，
表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是
________________．
16．已知数列{}满足a1＝1，＝（n≥2），则数列{}的通项公式为＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
设函数f（x）＝sin（ωx＋），其中ω＞0，｜｜＜，若coscos－sinsin
＝0，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A,B,C是△ABC的三个内角，且f（A）＝－1，求sinB＋sinC的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝（m为常数0＜m＜1＝，且数列{f（）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）＝f（），当m＝时，求数列｛｝的前n项和；
（2）设＝·，如果｛｝中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．
19．（本题满分12分）
某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
20．（本题满分12分）
如图，四棱锥S－ABCD是正四棱锥，每条侧棱的长都是底
面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得
BE∥平面PAC．若存在，求SE ：EC的值；若不存在，
试说明理由．
21．（本题满分12分）
设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为，＝3．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果｜ＡＢ｜＝，求△F1AB的面积．
22．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝ax＋x lnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m4时，证明．
数学试题（理）答案
一．选择题 DACDD DCCAC BB
二．填空题 13. 14. 15. 16.
三．解答题
17．解：（1）由条件，
， ……………………2分
又图象的一条对称轴离对称中心的最近距离是，所以周期为，，…2分
． ……………………5分
（2）由，知，
是的内角，，，
，从而． ……………6分
由， ……………8分
，
，即． ……………10分
18：解 因数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以
又 ……………2分
当时 ……………3分
两式相减
……………6分
由（1）知要使对于一切成立，即对一切成立
对一切成立 ……………9分
只需，而单调递增，时
得
的取值范围是 ……………12分
19.解：（1）的所有可能取值为0，1，2． ……………………1分
设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
， ……………………3分
， ……………………5分
． ……………………7分
所以的分布列为（注：不列表，不扣分）
0
1
2
的数学期望为． ……………………………………8分
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．
而事件、、互斥，
所以，．
由条件概率公式，得
， ………………………9分
， ………………………10分
． ………………………11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
． ………………………12分
20:解（1）设AC与BD交于O，连接SO，由题意知SO⊥平
面ABCD,以O坐标原点 分别为x轴，y轴，z轴
正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图
设底面边长为a则高，于是，
，，，，，故，从而 ……………4分
（2）由题意知，平面PAC的一个发向量为，，平面DAC的一个发向量为。设所求二面角为，则，所求二面角的大小为 ……………8分
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，由（2）知是平面PAC的法向量，且，，设,则，
而 ……………10分
即当SE:EC=2:1时，,而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC…………12分
21 解（1）
可设，直线的方程为
由知，
……………3分
由知
，， ……………6分
(2)由（知， 所以
， ……………9分
到直线AB：的距离为………11分
……………12分
22．（1）解：因为，所以．…………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．所以．……………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………………3分
令，则，…………………………………4分
令，则，
所以函数在上单调递增．…………………………………………… 5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．…………7分
所以．故整数的最大值是3．………………8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………9分
所以当时，．……………………………………10分
即．整理，得
．
因为，所以．
即．即．
所以．………………12分
证明2：构造函数
，…………………………9分
则．……………………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增． 因为， 所以．
所以
．
即．
即．即．
所以．…………………………………………12分
证明3：要证
构造函数
则在上恒成立
在上递增
时即