1.8三角函数的简单应用 教案

三角函数的简单应用
【教学目标】 【核心素养】
1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养． 2．通过将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
三角函数模型的应用
（1）三角函数模型的应用
①根据实际问题的图像求出函数解析式．
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
（2）解答三角函数应用题的一般步骤
思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
[提示] A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
（1）ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
（2）A＝，b＝.
二、合作探究
1.已知解析式求周期、最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
（1）开始时电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] （1）当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110V.
（2）T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
（3）电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，
即t＝ s时第一次取得最大值．
【规律方法】
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键.
2.已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I（A）与时间t(s)的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像．
根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
[解] 由图像可知A＝300，又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π·＋φ＝0，即φ＝，
∴I＝300sin.
【规律方法】
求解析式的难点在于求φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.
3.三角函数的实际应用
[探究问题]
（1）建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？
（2）如何建立拟合函数模型？
【例3】 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像．
（1）试根据以上数据，求函数解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4．5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
[思路探究] （1）根据题意确定A，b，ω，φ.
（2）根据题意水深y≥11．5可求解．
[解] （1）从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12 h，
因此＝12，得ω＝.
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10．
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3．
∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
（2）由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4．5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4．5＝11．5(m)．
∴当y≥11．5时就可以进港．
令y＝3sint＋10≥11．5，得sint≥，
∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；
取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．
若将例3中“某港口的水深y是时间t(0≤t≤24，单位h)的函数”变为“海浪高度y(米)是时间t(时)的函数(0≤t≤24)且浪高数据如下：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1．5 1．0 0.5 1．0 1．5 1．0 0.5 0.99 1．5
若该函数图像可近似地看成函数y＝Acos ωt＋b的图像．
试求：（1）根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[解] （1）由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝1．5，
所以A＋b＝1．5；t＝3时，y＝1．0，得b＝1．0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
（2）因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y＝cost＋1>1，cost>0，
2kπ－即12k－3又0≤t≤24，所以0≤t<3或9所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9【规律方法】
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.
三、课堂总结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
（1）收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
（2）制作散点图，选择函数模型进行拟合．
（3）利用三角函数模型解决实际问题．
（4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）函数y＝sin x在内是增函数．( )
（2）函数y＝3sin x－1的最大值为3．( )
（3）直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( )
（4）函数y＝sin [π(x－1)]的最小正周期为2．( )
[答案] （1）√ （2）× （3）× （4）√
2．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
B [由图像可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B．]
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C [由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15] [3π，5π]，故选C．]
4．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
[解] （1）由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
（2）b＝＝40，A×1＋40＝50，∴A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，
则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，
代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
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