数学北师大版（2019）必修第二册 6.5.2平面与平面垂直 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
6.5.2 平面与平面垂直
课标阐释
1.理解二面角及其平面角的概念并初步理解二面角的平面角的一般作法.(数学抽象、几何直观)
2.理解两个平面互相垂直的定义,并能用符号语言进行描述.(数学抽象)
3.掌握面面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理,并能利用定理解决相关证明问题.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
现在建筑师傅在砌墙时,一般不用传统的铅锤了,而是采用砌墙红外线仪.该仪器操作方便,测量精确,堪称砌墙“神器”.如图所示,砌墙时,将该仪器吊放在屋顶,调整好位置和角度,打开仪器后会自动产生横线和竖线,建筑师傅只需顺着光线操作,这样就能保证墙是垂直于地面的.你能知道其中的数学原理吗
激趣诱思
知识点拨
一、二面角及相关概念
1.一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.
2.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,称为二面角,这条直线称为二面角的棱;两个半平面称为二面角的面.以AB(l)为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β或α-l-β.
激趣诱思
知识点拨
3.画法:
激趣诱思
知识点拨
名师点析理解二面角及其平面角
(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.
(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
(3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.
激趣诱思
知识点拨
微思考
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别是哪些二面角 这些二面角各是多少度
提示可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(　　)
(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(　　)
答案(1)√　(2)√
激趣诱思
知识点拨
二、平面与平面垂直的性质
1.以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角,如图中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角称为直二面角.
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作:α⊥β.
激趣诱思
知识点拨
2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
3.平面与平面垂直的性质
文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β,α∩β=MN,AB β,AB⊥MN,BC∩MN=B,BC α,MN α AB⊥α
图形语言
激趣诱思
知识点拨
拓展:
文字语言 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内
符号语言 α⊥β,P∈α,P∈m,m⊥β m α
图形语言
激趣诱思
知识点拨
名师点析对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理可简记为“面面垂直,则线面垂直”,该定理可以作为判断线面垂直的判定方法,即只要两个平面垂直,那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直.
(2)应用定理的三个条件:
①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须与交线垂直.
激趣诱思
知识点拨
微思考
过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面
提示无数个.
微练习
已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则(　　)
A.ME⊥平面AC　　　B.ME 平面AC
C.ME∥平面AC D.以上都有可能
解析由于ME 平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.
答案A
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.(　　)
(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.(　　)
(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.(　　)
答案(1)×　(2)√　(3)×
激趣诱思
知识点拨
三、平面与平面垂直的判定
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
符号语言 l β,l⊥α α⊥β
图形语言
激趣诱思
知识点拨
名师点析理解面面垂直的判定定理注意以下几点
(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.
(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
经过平面内的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个
提示只有一个.
微思考2
经过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直
提示无数个.
微练习
已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是(　　)
A.α⊥γ,β⊥γ　　B.α∩β=m,m⊥n,n β
C.m∥α,m∥β D.m∥α,m⊥β
解析选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求二面角的大小
例1如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中:
(1)二面角D'-AB-D的大小为　　　　　.
(2)二面角A'-AB-D的大小为　　　　　.
解析(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AD'DA,所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD'DA,所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD为二面角A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小为90°.
答案(1)45°　(2)90°
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,即两射线夹角为所求二面角的平面角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
解由已知PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因为AB是圆O的直径,且点C在圆周上,
所以AC⊥BC.
又因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC,所以PC⊥BC.
又因为BC是二面角P-BC-A的棱,
所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,
所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明两个平面垂直
例2如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的
等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,
则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,
故平面ABC⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 证明平面与平面垂直的两种方法
(1)利用定义.证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)利用面面垂直的判定定理.要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC.
证明因为PC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PC⊥BD.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
又PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面PBD,
所以平面PDB⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面与平面垂直的性质定理的应用
例3如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.
因为平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,
所以AD⊥平面VBC.
所以AD⊥BC.
因为VA⊥平面ABC,
所以VA⊥BC.
因为AD∩VA=A,且VA 平面VAB,AD 平面VAB,
所以BC⊥平面VAB.
因为AB 平面VAB,所以AB⊥BC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
2.平面与平面垂直的其他性质:
(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中的已知条件换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.
证明因为平面VAB⊥平面ABC,
平面VAB∩平面ABC=AB,AC 平面ABC,CA⊥AB,
所以CA⊥平面VAB,所以CA⊥VA.同理,BA⊥VA.
又AB∩AC=A,所以VA⊥平面ABC,
因为BC 平面ABC,所以VA⊥BC.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.(多选)对于直线m,n和平面α,β,不能得出α⊥β的选项有(　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m α,由面面垂直的判定定理,能得出α⊥β.故选ABD.
答案ABD
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有　　　　　对.
解析因为AB⊥平面BCD,
所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.
因为BC⊥CD,所以DC⊥平面ABC.
所以平面ADC⊥平面ABC.
所以共有3对互相垂直的平面.
答案3
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测