数学北师大版（2019）必修第二册 1.4.1-2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义与性质课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
1.4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1.4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
课标阐释
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(数学抽象)
2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值.(数学运算)
3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质.(数学运算)
4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号.(直观想象)
思维脉络
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知识点拨
水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺,是珍贵的历史文化遗产.相传,水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形,三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用,隋唐时广泛用于农业灌溉,至今已有1 700余年历史.
如果将水车边缘看成一个圆,如何确定水车边缘上的点呢
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知识点拨
一、任意角的正弦函数和余弦函数
任意角的正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cos α.
正弦v=sin α、余弦u=cos α分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合.
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知识点拨
名师点析对正弦函数和余弦函数定义的理解
(1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应.
(2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R.
(3)正弦函数和余弦函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关.
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知识点拨
微练习
若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=　　　　,cos α=　　　　.
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知识点拨
二、正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数v=sin x和余弦函数u=cos x的定义,我们不难从单位圆看出函数v=sin x,u=cos x有以下性质.
1.定义域是R;
2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
3.它们是周期函数,其周期都是2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期为2π;
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知识点拨
名师点析正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值和余弦函数值,却有无穷多个角与之对应.
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知识点拨
微练习
(1)函数y=-2sin x的定义域是　　　　,值域是　　　　　,最小正周期是　　　　,在区间　　　　　　　上单调递增,在区间　　　　　　　上单调递减.
(2)函数y=cos x-2的定义域是　　　　,最大值为　　　　,最小值为　　　　,在区间　　　　　　　上单调递增,在区间　　　　　　　上单调递减.
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知识点拨
三、正弦函数值和余弦函数值的符号
正弦函数值和余弦函数值的符号是根据正弦函数和余弦函数定义和各象限内的坐标符号导出的.正弦的符号决定于纵坐标y的符号;余弦的符号决定于横坐标x的符号.正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号如图所示.
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知识点拨
名师点析
类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
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知识点拨
微练习
判断下列正弦函数值与余弦函数值的符号:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
根据正、余弦函数的定义求值
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 利用正弦函数和余弦函数的定义求一个角的正弦函数值和余弦函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出正弦函数值和余弦函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,首先求
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
正、余弦函数值的符号判断及应用
例2如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 正、余弦函数值的符号判断方法
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,二正弦,三全负,四余弦”,即第一象限角的正、余弦函数值全为正值,第二象限角的正弦函数值为正值,第三象限角的正、余弦函数值全为负值,第四象限角的余弦函数值为正值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2若sin α>0,cos α<0,则角α的终边所在象限是(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为sin α>0,所以角α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
因为cos α<0,所以角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3已知函数y=-3sin x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 对于形如y=asin x+b的函数性质的研究可借助正弦函数v=sin x的性质.要清楚a,b对函数y=asin x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3求函数y=2cos x-4的定义域、值域、最值、周期以及单调区间.
解由余弦函数u=cos x的基本性质可知函数y=2cos x-4的性质如下:
定义域:R.
值域:[-6,-2].
最值:当x=2kπ(k∈Z)时,取最大值为-2;当x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值为-6.
周期:周期为2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期为2π.
单调区间:由余弦函数u=cos x的单调性可知,y=2cos x-4在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知α是第三象限角,设sin αcos α=m,则有(　　)
A.m>0
B.m=0
C.m<0
D.m的符号无法确定
解析因为α是第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,
所以sin αcos α>0,
所以m>0.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则θ是第　　　　象限角.
解析因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,
所以θ为第二象限角.
答案二