高中数学人教A版（2019）必修 第二册第八章 立体几何初步8.6.2 直线与平面垂直1(共24张PPT)

(共24张PPT)
8.6.2直线与平面垂直
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则___________
特殊情况 当θ＝_____时，a与b互相垂直，记作______
锐角(或直角)
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
复习回顾
异面直线所成角
3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求
作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、
大桥桥柱与水面是什么位置关系？
你能举出一些类似的例子吗？
A
B
α
B1
C1
C
B
一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？
新课引入
AB所在直线与平面内
任意一条过点B的直线垂直．
与平面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的任意一条直线．
(一)直线与平面垂直的定义
如果直线 l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直.记作l⊥α
直线l叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线 l的垂面,
直线 和平面垂直,它们唯一的公共点P叫做垂足.
α
l
P
（性质定理）
b是平面α内任一直线,a⊥α，则 .
a⊥b
学习新知
符号语言：任意a α，都有l⊥a .
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
线面垂直直观图的一般画法
学习新知
思考:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
可以发现:过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
点到平面的距离
如棱锥的高就是顶点到底面的距离.
学习新知
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
怎样判断线面垂直呢？
学习新知
不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.
D
B
A
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
a
B
D
C
A
（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗
（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论
学习新知
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
B
m
n
l
α
学习新知
例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么？
A
B
C
D
典型例题
V
A
B
C
.
D
巩固练习
m
a
b
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
n
典型例题
已知：如图,已知a∥b,a⊥α.
求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知,直线a与这两条相交直线是垂直的,又由b平行a,可证b与这两条相交直线也垂直,从而可证直线与平面垂直.
证明：在平面α内取两条相交直线m、n，
E
A
B
C
D
巩固练习
2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的
距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
3、在空间，下列命题
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
正确的是（ ）
A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.(1)(2)(3)(4)
C
B
巩固练习
证明:(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.
则在Rt△ABC中，
有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.
所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
典型例题
典型例题
[证明]　(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线
所以BD⊥平面SAC.
判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.
另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:
(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另
一个平面也垂直.
方法总结
例4如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.
分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.
证明:∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BC⊥PC.
变式：若本例中其他条件不变,
作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.
典型例题
直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.
判定是指:如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;
性质是指:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b α a⊥b.
由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
反思感悟
思考探究
总结：证明线线垂直的方法
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定与性质
课堂小结