10.1.2 事件的关系和运算 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
10.1.2事件的关系和运算
1．当几个集合是有限集时,常用列举法列出集合中的元素,求集合A∪B与A∩B中的元素个数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中 元素的个数；而当A∩B＝ 时,A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 ；而当A∩B≠ 时,A∪B中的元素个数即为A、B中元素个数之和 A∩B中的元素个数．．
在掷骰子实验中,可以定义许多事件,
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？
请用集合的形式表示这些事件
借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研究随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.
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1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.
显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1} {1,3,5},即C1 G. 这时我们说事件G包含事件C1.
注:
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2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,它们分别是D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.
可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是(1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
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3.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2={2}.
可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
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4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别是C3={3},C4={4}.
显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,
即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说AnB是一个不可能事件,即AnB=0,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
可以用图表示这两个事件互斥.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
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5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.
在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一A个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
事件A的对立事件记为 ,可以用图表示为.
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综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
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典型例题
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表元样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
典型例题
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.
(3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,
∩ 表示电路工作不正常；
A∪B和 ∩ 互为对立事件.
典型例题
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
典型例题
解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),
(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};
事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
(2)因为R R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ).
(A)至多一次中靶 (B)两次都中靶
(C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
课本练习
2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件;
(3)C3 D2; (4)D3 D2;
(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6;
(7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件；
(9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3.
课本练习
√
×
√
√
√
√
√
√
√
√
A
1.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,
向上面至少有一枚是正面为事件N,则有( )
A.M N
B. M N C.M=N D.M巩固练习
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},
则P∪Q＝ ,
M∩Q＝_______________________.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,
则A的对立事件是________．
巩固练习
巩固练习
B
巩固练习
1.事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系,即{对立事件} {互斥事件}.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件(A+B）或(A∪B）,表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB）或A∩B,表示事件A与事件B同时发生.
课堂小结
课堂小结
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．