8.3简单几何体的表面积与体积 第3课时 球的问题 课件（23张PPT）

(共14张PPT)
第8章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积(3)
球的截面问题
1
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
如果平面经过球心，得到的截面圆为球的大圆(如地球仪上的经线圈与赤道所在的经线圈)；如果平面不过球心，得到的截面圆为球的小圆(如40°经线圈)
小圆的圆心为，半径为，球的球心为，半径为，则
① ⊥圆面
②
球的截面问题
1
1.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的 面积为，求球的表面积.
作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得 设截面圆的半径为
，球的半径为 ，因为截面圆的面积为 ，
所以可得 ，解得
又由 ，所以
所以球的表面积
2.过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=BC
=CA=2，求球的表面积.
设球心为 ，截面圆的圆心为 ，连接 .设球的半径为 ，由题意有
在Δ中
解得
球与几何体外接、内切问题
2
解决与球有关的外接、内切问题的关键
确定球心位置
构造直角三角形，确定球的半径
球心定位置
半径定大小
球与多面体
多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等
多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等
球与旋转体
旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴上
旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上
球与几何体外接、内切问题
2
3.已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一球面上，求这个球的表面积.
∵ 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同
一个球面上，
∴ 长方体的体对角线就是球的直径， 体对角线长为
∴ 球的半径为球的表面积是
4.正三棱锥 内接于球 ，且底面边长为 ，侧棱长为 ，则球 的表面积是多少？
如图，设三棱锥 的外接球的半径为 ， 为正三角形的中心.
因为
所以
又因为
解得所以球的表面积
球与几何体外接、内切问题
2
5.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.
如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
6.一个正四面体的棱长为 ，若该四面体的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，求
正方体与球
3
如图①，正方体的棱长为，则外接球的直径为，内切球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图②
过正方体对角面截组合体，其截面图如图③
①
②
③
正方体的外接球与内切球
正方体与球
3
如图④，正方体的棱长为，该球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图⑤
过正方体对角面截组合体，其截面图如图⑥
与正方体各棱都相切的球
④
⑤
⑥
正方体与球
3
7. 如图，棱长为1的正方体内有两个球外切，且各与正方体的三个面相切，求两个球半径的和.
如图，沿正方体对角面作截面图，则两圆分别与AD，BC相切，两球心在对角线AC上，O1E⊥AD，O2F⊥BC.
由已知得
所以
所以
求组合体表面积和体积时考虑不全
1.如图，从底面半径为 ，高为的 圆柱中，挖去一个底面半径为 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积 与挖去圆锥后的几何体后的表面积 之比.
切、接问题中不能得到最大的球
2.在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ⊥ ，则 的最大值是多少？
设球的半径为 ∵ ⊥
∴
∵ Δ的内切圆半径
∴
又∵
∴