10.1.4 概率的基本性质(共57张PPT)

(共57张PPT)
10.1.4　概率的基本性质
知识点　概率的基本性质
性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0.
性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P( )＝ .
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ .
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ .
性质5　如果A B，那么 .
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝_____
.
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
P(A)≤P(B)
P(A)
＋P(B)－P(A∩B)
例1　(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝ ，求出现1点或2点的概率.
一、互斥事件概率公式的应用
解　设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，
(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝ ，P(B)＝ ，求这3只球中既有红球又有白球的概率.
解　因为A，B是互斥事件，
反思感悟
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥.
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
跟踪训练1　在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位 (单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10,16)；
(2)[8,12)；
(3)[14,18).
P(A) ＝0.82.
P(B)＝0.38
P(C) ＝0.24
二、对立事件概率公式的应用
(1)甲获胜的概率；
解　“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
(2)甲不输的概率.
(2)甲不输的概率.
解　方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
方法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，
反思感悟
对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
跟踪训练2　某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.
中靶的概率是0.95.
三、概率性质的综合应用
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”
“得到绿球”分别为A，B，C，D，
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解　事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，
反思感悟
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：
一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；
二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
跟踪训练3　某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
解　记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.
这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)求他不乘轮船去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
解　设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解　由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
正难则反思想的应用
典例　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
解　由题意知，(a，b，c)的样本空间Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}，共27个样本点.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
解　设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
素养提升
当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时，可以找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.正难则反思想的应用提高了逻辑推理的核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.以上答案都不对
√
1
2
3
4
5
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
√
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3.事件A与事件B的关系如图所示，则
A.A B B.A B
C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件
√
1
2
3
4
5
解析　由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，
因此A与B互斥不对立，故选C.
4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.
从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为______.
0.2
解析　设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，
则D与A∪B∪C互为对立事件.
因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，且A，B，C三个事件互斥，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B).
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
2.方法归纳：转化法、正难则反.
3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于
A.0.3 B.0.2
C.0.1 D.不能确定
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,
0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　 由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C
＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.
由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是
A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]
C.(0,0.9] D.[0,1]
√
解析　由于事件A和B是互斥事件，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，
又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，
又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.
4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为
A.0.20 B.0.39
C.0.35 D.0.30
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，
∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
√
解析　设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，
则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，
则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50或优的概率为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，
由互斥事件概率的加法公式，
7.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且P(A)＝2P(B)，则P(A)
＝_____.
又因为P(A)＝2P(B)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，
则从5杯饮料中选出3杯的样本空间Ω＝{(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)}，共有10个样本点.
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
10.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为4,5.从这五张卡片中任取两张，如果5张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率：
(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；
解　从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10个样本点.
A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，共有6个样本点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；
解　B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)}，共有6个样本点，
(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”.
解　C＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)}，共有3个样本点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”.
解　由题意得，事件D与事件B是对立事件，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，
∴共含有12个样本点.
函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，
①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为 的是
A.都是一级品 B.都是二级品
C.一级品和二级品各1件 D.至少有1件二级品
√
解析　样本点总数为10,2件都是一级品包含的样本点有3个，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见右表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是
A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥.
由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正确；
B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；
由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；
由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确.故选A，D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为 ，则参加联欢会的教师共有______人.
120
解析　可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的
数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，设甲取的数为m，乙取的数为n，其样本点记为(m，n)，
所以样本空间Ω＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)}，共含有18个样本点，事件“甲数小于乙数”包括(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共5个样本点，
16.某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)1张奖券的中奖概率；
解　1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解　设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，
则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束