1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识 教案

正弦函数的图象与性质再认识
【教学目标】 【核心素养】
1．能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点) 2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点) 1.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 2．借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．正弦函数的图象
（1）利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．
（2）“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，，(π，0)，和(2π，0)．
2．正弦函数的性质
（1）函数的周期性
①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
（2）正弦函数的性质
函数 y＝sin x
定义域 (－∞，＋∞)
值域 [－1,1]
奇偶性 奇函数
周期性 最小正周期：2π
单调性 在(k∈Z)上递增； 在(k∈Z)上递减
最值 x＝2kπ＋，(k∈Z)时，y最大值＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1
二、新知探究
1.正弦函数的图象与性质
【例1】 用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
[解] 按五个关键点列表
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1(3)由图象可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝.
【教师小结】
（1）正弦函数图象的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，作出图象．
（2）五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
（3）仔细观察图象，找出函数图象y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
2.正弦函数的单调性及应用
【例2】 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°和cos 160°；
(2)sin 和cos ；
(3)sin和sin.
[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°.
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
(2)∵cos ＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
∴sin >sin＝cos ，
即sin >cos .
(3)∵cos ＝sin ，
∴0而y＝sin x在内递增，
∴sin【教师小结】
（1）求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．
（2）比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
3.正弦函数的值域与最值问题
[探究问题]
（1）函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值能否为－1
[提示] 不能．因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
（2）函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
[提示] 不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝3＋2sin；
(2)y＝1－2sin2x＋sin x.
[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．
(2)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．
[解] (1)∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1,5]．
(2)y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－22＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为.
【教师小结】
（1）换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．
（2）转化成同一函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
三、课堂总结
1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
2．正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3．正弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称．
(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．正弦函数单调性的说明
(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．正弦函数最值的释疑
(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.
(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
四、课堂检测
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
B [观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.]
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
D [可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B.]
3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________．
[－1,0] [因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．
[解] 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝－2sin x 0 －2 0 2 0
描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：
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