倾斜角与斜率
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课件47张PPT。3.1.1倾斜角与斜率对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定?思考 我们知道，两点确定一条直线.
一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗？过一点有无数条直线，故一点不能确定直线。P 与x轴正方向形成45度角的直线有几条？ P.
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向。而直线的方向我们就是用倾斜角来刻画的。 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．xyOl 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .直线的倾斜角 的取值范围为：直线的倾斜角P.我们把 和 角就叫做直线 与 的倾斜角。下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？ oα注意： (1)直线向上方向；
(2)轴的正方向。（1）看看这三条直线，它们倾斜角
的大小关系是什么？l1l2l3（2）你认为下列说法对吗？
①所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应；
②每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线.直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。 思考 只知道直线的倾斜角α，不能确定一条直线的位置。 已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置，那已知直线的倾斜角α，能不能确定一条直线的位置？ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．确定直线的要素 日常生活中，还有没有表示
倾斜程度的量？（即倾斜角a的正切值） 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。通常用小写字母k表示，即 如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．直线的斜率一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即直线的斜率如:倾斜角α=45°时,直线的斜率k=tan45° =1;倾斜角α=135°时,直线的斜率k=tan135° =－1.倾斜角为锐角时,k>0;
倾斜角为钝角时,k<0;
倾斜角为0°时,k=0.倾斜角为直角时,k=？当倾斜角α=1200，1350，1500时，这条直线的斜率分别等于多少？ 思考:当倾斜角α=00，300，450，600时，这条直线的斜率分别等于多少？ 当α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;当α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.下列哪些说法是正确的（ ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。E、F创新47页想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。问题：
如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？如图，当α为锐角时， 锐角 探究新知：由两点确定的直线的斜率
能不能构造一个直角三角形去求？如图，当α为钝角时， 钝角 当 的位置对调时， 值又如何呢? 想一想?同样，当 的方向向上时，也有 当直线 与 x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 成立，因为分子为0，分母不为0，K=0。 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：斜率不存在, 因为分母为0。对公式的
深入理解经过两点 的直线的斜率公式为：直线的斜率公式(1)已知直线上两点 A(a1, a2),B(b1, b2) ,运用上述公式计算直线AB斜率时,与A,B两点坐标的顺序有关吗?无关(2)当直线平行于y轴,或与y轴重合时,上述公式还适用吗？为什么？不适用经过两点P1(x1, y1),P2(x2, y2) (x1 ≠x2)的直线的斜率公式思考(3)当直线平行于x轴,或与x轴重合时,上述式子还适用吗？为什么？适用0°＜ ＜ 90°= 90°90°＜ ＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0例1 如图,已知A(3,2),B(－4,1),C(0,－1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解:直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角.练习：课本86页 2练习：课本86页 3练习：课本89页 A3练习：课本89页 A5例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线 解：（待定系数法）设直线上另一点A1(1,y)则：所以过原点和A1 (1,1)
画直线即可说明：也可设其它特殊点创新47页
创新48页活页规范训练2．在下列四个命题中，正确的命题共有( )．
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；
④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析 由于当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①、④不正确；由直线倾斜角的定义知；倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确；直线的斜率可以是tan 210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．
根据以上判断，四个命题均不正确，故应选择A.
答案 A4．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．
解析 如右图，直线AB的倾斜角为30°或150°.
答案 30°或150° 或－6．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
解 ①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，
∴k＝ ＝ .
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan 60°＝ .解得a＝1－ .
∴点P的坐标为（1- ，0）.
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－ ，
∴点P的坐标为(0,2－ )．7．(2012·温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )．
A．α＋45°B．α－135°C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°答案 D11．a为何值时，过点A( 2a,3)、B(2，－1)的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？
解 因为过A、B的直线的倾斜角为锐角，所以kAB>0，根据斜率公式得kAB＝ ＝ >0，∴a>1，同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，
即 <0，∴a<1，当倾斜角为直角时，A、B两点的横坐标相等，即2a＝2，∴a＝1.
故：当a>1时，直线的倾斜角是锐角；
当a<1时，直线的倾斜角是钝角；
当a＝1时，直线的倾斜角是直角．9．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [0,2]12．(创新拓展)点M(x，y)在函数y＝－2x＋8图象上，当x∈[2,5]时，求 的取值范围．
解 ＝ 的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M在2≤x≤5上的直线y＝－2x＋8的线段AB上运动，其中A(2,4)，B(5，－2)．由于kNA＝ ，kNB＝－ ，
∴－ ≤ ≤ .∴的取值范围为 .
一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗？过一点有无数条直线，故一点不能确定直线。P 与x轴正方向形成45度角的直线有几条？ P.
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向。而直线的方向我们就是用倾斜角来刻画的。 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．xyOl 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .直线的倾斜角 的取值范围为：直线的倾斜角P.我们把 和 角就叫做直线 与 的倾斜角。下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？ oα注意： (1)直线向上方向；
(2)轴的正方向。（1）看看这三条直线，它们倾斜角
的大小关系是什么？l1l2l3（2）你认为下列说法对吗？
①所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应；
②每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线.直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。 思考 只知道直线的倾斜角α，不能确定一条直线的位置。 已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置，那已知直线的倾斜角α，能不能确定一条直线的位置？ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．确定直线的要素 日常生活中，还有没有表示
倾斜程度的量？（即倾斜角a的正切值） 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。通常用小写字母k表示，即 如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．直线的斜率一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即直线的斜率如:倾斜角α=45°时,直线的斜率k=tan45° =1;倾斜角α=135°时,直线的斜率k=tan135° =－1.倾斜角为锐角时,k>0;
倾斜角为钝角时,k<0;
倾斜角为0°时,k=0.倾斜角为直角时,k=？当倾斜角α=1200，1350，1500时，这条直线的斜率分别等于多少？ 思考:当倾斜角α=00，300，450，600时，这条直线的斜率分别等于多少？ 当α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;当α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.下列哪些说法是正确的（ ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。E、F创新47页想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。问题：
如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？如图，当α为锐角时， 锐角 探究新知：由两点确定的直线的斜率
能不能构造一个直角三角形去求？如图，当α为钝角时， 钝角 当 的位置对调时， 值又如何呢? 想一想?同样，当 的方向向上时，也有 当直线 与 x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 成立，因为分子为0，分母不为0，K=0。 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：斜率不存在, 因为分母为0。对公式的
深入理解经过两点 的直线的斜率公式为：直线的斜率公式(1)已知直线上两点 A(a1, a2),B(b1, b2) ,运用上述公式计算直线AB斜率时,与A,B两点坐标的顺序有关吗?无关(2)当直线平行于y轴,或与y轴重合时,上述公式还适用吗？为什么？不适用经过两点P1(x1, y1),P2(x2, y2) (x1 ≠x2)的直线的斜率公式思考(3)当直线平行于x轴,或与x轴重合时,上述式子还适用吗？为什么？适用0°＜ ＜ 90°= 90°90°＜ ＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0例1 如图,已知A(3,2),B(－4,1),C(0,－1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解:直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角.练习：课本86页 2练习：课本86页 3练习：课本89页 A3练习：课本89页 A5例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线 解：（待定系数法）设直线上另一点A1(1,y)则：所以过原点和A1 (1,1)
画直线即可说明：也可设其它特殊点创新47页
创新48页活页规范训练2．在下列四个命题中，正确的命题共有( )．
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；
④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析 由于当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①、④不正确；由直线倾斜角的定义知；倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确；直线的斜率可以是tan 210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．
根据以上判断，四个命题均不正确，故应选择A.
答案 A4．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．
解析 如右图，直线AB的倾斜角为30°或150°.
答案 30°或150° 或－6．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
解 ①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，
∴k＝ ＝ .
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan 60°＝ .解得a＝1－ .
∴点P的坐标为（1- ，0）.
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－ ，
∴点P的坐标为(0,2－ )．7．(2012·温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )．
A．α＋45°B．α－135°C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°答案 D11．a为何值时，过点A( 2a,3)、B(2，－1)的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？
解 因为过A、B的直线的倾斜角为锐角，所以kAB>0，根据斜率公式得kAB＝ ＝ >0，∴a>1，同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，
即 <0，∴a<1，当倾斜角为直角时，A、B两点的横坐标相等，即2a＝2，∴a＝1.
故：当a>1时，直线的倾斜角是锐角；
当a<1时，直线的倾斜角是钝角；
当a＝1时，直线的倾斜角是直角．9．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [0,2]12．(创新拓展)点M(x，y)在函数y＝－2x＋8图象上，当x∈[2,5]时，求 的取值范围．
解 ＝ 的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M在2≤x≤5上的直线y＝－2x＋8的线段AB上运动，其中A(2,4)，B(5，－2)．由于kNA＝ ，kNB＝－ ，
∴－ ≤ ≤ .∴的取值范围为 .