6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
A组
1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( )
A.-297 B.-252
C.297 D.207
解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(x+1)10,展开式中含x5的项的系数为=207.
答案:D
2.在()12的展开式中,含x的正整数次幂的项为 ( )
A.第1项、第7项与第13项
B.第10项
C.第10项与第13项
D.第12项
解析:()12的展开式的通项为Tr+1=)12-r()r=(0≤r≤12),6-(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.
答案:A
3.组合式-2+4-8+…+(-2)n的值等于 ( )
A.(-1)n B.1
C.3n D.3n-1
解析:-2+4-8+…+(-2)n·(-2)+·(-2)2+·(-2)3+…+·(-2)n=(1-2)n=(-1)n.
答案:A
4.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
答案:D
5.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有 ( )
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
解析:Tr+1=,则r分别取0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,故x的幂指数有5项是整数项.
答案:C
6.在(2x+)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字作答)
解析:设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3,4,5},
则Tk+1=(2x)5-k()k=25-k.
当5-=3时,k=4,即T5=25-4=10x3.
答案:10
7.233除以9的余数是 .
解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,
因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.
答案:8
8.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .
解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,故根据二项式定理的展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,又2+a能被11整除,可知a=9.
答案:9
9.已知在(x-)n的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,求含x2的项.
解:(x-)n展开式的第二项与第四项分别为T2=xn-1·(-)=-·nxn-1,T4=xn-3·(-)3=-2xn-3.
依题意得,即n2-3n-4=0,解此方程并舍去不合题意的负值,得n=4.
设(x-)4展开式中含x2的项为第k+1项,
则Tk+1=x4-k(-)k,
由4-k=2,得k=2,即(x-)4展开式中含x2的项为T3=x2(-)2=12x2.
10.已知,求
(1)展开式中第四项的二项式系数;
(2)展开式中第四项的系数;
(3)展开式中的第四项.
解:的展开式的通项是
Tk+1=(3)10-k·310-k·.
(1)展开式中第四项的二项式系数为当k=3时,=120.
(2)展开式中第四项的系数为·37=-77 760.
(3)展开式中的第四项为T4=·37·=-77 760.
11.已知在的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式的常数项.
解:Tr+1=)n-r,
由前三项系数的绝对值成等差数列,
得=2×,
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(1)展开式的第4项为T4==-7.
(2)当r=0,即r=4时,常数项为.
B组
1.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( )
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
解析:二项式(x+i)6展开式的通项Tr+1=x6-rir,则其展开式中含x4的项是当6-r=4,即r=2时,展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.
答案:A
2.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.(1,+∞)
解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=·x9-r·yr.
依题意有
即
解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).
答案:D
3.(x2+2)的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
解析:第一个因式取x2,第二个因式取含的项得1×(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得2×(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.
答案:D
4.在的展开式中,x6的系数是( )
A.180 B.20
C.-20 D.-180
解析:由=x2+-4x2+-4·x2+-4x2+-4x2+-4,则x2+-45的展开式中,x6的系数是·(-4)2+·41·(-4)0=180.
答案:A
5.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有 项.
解析:二项展开式的通项公式Tk+1=x20-k·(y)k=)kx20-kyk(0≤k≤20).要使系数为有理数,则k必为4的倍数,故k可为0,4,8,12,16,20,共6项.
答案:6
6.设(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a= .
解析:对于Tr+1=x6-r(-a)r=(-a)r·,B=(-a)4,A=(-a)2.
由B=4A,a>0,知a=2.
答案:2
7.若(x+a)2的展开式中的常数项为-1,则a的值为 .
解析:由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式的通项为Tk+1=(-1)k·xk-5,其中k=0,1,2,…,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中的常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.
答案:1或9
8.(2+x)(1-2x)5的展开式中,x2项的系数为 .
解析:x2项的系数为2(-2)2+(-2)=70.
答案:70
9.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明 因为1+2+22+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,所以原式能被31整除.
10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.
(2)令h(x)=f(x)+g(x),如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值
解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.
(1+x)3展开式的通项为,
(1+2x)4展开式的通项为(2x,
f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,
所以+2=12,
即m+2n=12,
所以m=12-2n.
x2的系数为+4+4(12-2n)·(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4,n∈N*,
所以n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.(共40张PPT)
6.3.1 二项式定理
第六章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.解决与二项式定理有关的简单问题.
4.通过该节的学习,使学生理解从特殊到一般的思维方法,培养学生的观察归纳能力、抽象思维和逻辑思维能力.
自主预习 新知导学
提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
(2)(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4.
(3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)(a+b)n的展开式中共有n项.( × )
(2) an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.( × )
(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
二项式定理的正用与逆用
运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二
项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉二项式公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
探究二
二项式系数与项的系数问题
1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项的二项式系数与系数两者的区别.
2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
【变式训练2】 二项式(2x+1)6的展开式中含x4项的系数为( )
A.60 B.120 C.240 D.480
答案:C
探究三
与二项展开式中的特定项有关的问题
1.求二项展开式中特定的项
(1)n的值;
(2)展开式中含x3的项.
1.本例条件不变,求二项展开式中的常数项.
2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项.
求二项展开式的特定项常见题型及处理措施
(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(3)求有理项.对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
(1)n;
(2)含x2的项的系数;
(3)展开式中所有的有理项.
2.由二项展开式某项的系数求参数问题
答案:D
由二项展开式某项的系数求参数问题的关键是抓住其通项公式,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.
答案:A
探究四
二项式定理的综合应用
【例5】 (1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.80 B.120 C.240 D.320
(2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),
故展开式中x3y3的系数为40+80=120.
(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.
答案:(1)B (2)3
1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解后相乘,求和即得.
2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.
【变式训练5】 (1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
(2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是( )
A.-15 B.85 C.-120 D.274
(2)展开式中含x4的项应从5个括号中选4个x,1个常数,故x4的系数为
(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.
答案:(1)D (2)A
数学建模
利用二项式定理解决整除性问题
【典例】 (1)今天是星期一,过2100天后是星期 .
(2)求证:32n+2-8n-9能被64整除.
答案:三
整除性或求余数问题的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式.
(2)把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式.
(3)利用二项式定理展开,只需研究后面(或前面)一、两项就可以.
(4)注意余数的范围,若a=cr+b,其中b为余数,r是除数,则b∈[0,r).
(5)利用二项式定理展开、变形后,若剩余部分是负数,则要注意转化为正数.
【变式训练】 (1)用二项式定理证明:34n+2+52n+1能被14整除.
(2)求9192除以100的余数.
随堂练习
答案:C
答案:C
3.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,x2的系数是 .(用数字作答)
答案:35
答案:7
本 课 结 束
