6.3.2 二项式系数的性质
A组
1.(1-x)13的展开式中二项式系数最大的项为( )
A.第六项 B.第七项、第八项
C.第九项 D.第十项
解析:展开式中共有14项,中间两项(第七项、第八项)的二项式系数最大.
答案:B
2.(2-)8的展开式中不含x4项的系数的和为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-1)8=1,由Tr+1=(-1)r28-r()r,令r=8,得T9=20x4=x4,其系数为1,故展开式中不含x4项的系数的和为1-1=0.
答案:B
3.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
解析:令x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,
故a0+a1+a2+…+a11=-2.
答案:A
4.已知(2x-1)n的二项展开式中,奇数次项系数的和比偶数次项系数的和小38,则+…+的值为 ( )
A.28 B.28-1
C.27 D.27-1
解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇数次项的系数和为A,偶数次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,
得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,故(-3)n=38=(-3)8,得n=8.
由二项式系数的性质,可得+…+=2n-=28-1.
答案:B
5.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是( )
A.0 B.256
C.64 D.
解析:由已知得即5
因为n∈N*,所以n=6.
令x=1,则原式=.
答案:D
6.若(a>0)的展开式中只有第6项的系数最大,则实数a的取值范围是( )
A.C.2≤a≤ D.2解析:展开式的通项是Tr+1=x8-r=ar,因为只有第6项的系数最大,所以第6项的系数大于第5项的系数并且大于第7项的系数,即解得答案:A
7.已知展开式中的常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是 .
解析:Tr+1=x8-r=(-a)r··x8-2r,令8-2r=0得r=4,由条件知,a4=1 120,解得a=±2.
令x=1得展开式各项系数的和为1或38.
答案:1或38
8.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则当a0+a1+a2+…+an=254时,n= .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n==254,故2n=128,解得n=7.
答案:7
9.若(1+)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是 .
解析:因为8<+…+<32,即8<2n<32,且n∈N*,所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=)2=6x.
答案:6x
10.已知(1-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a7(x-1)7.求:
(1)a0+a1+a2+…+a7;
(2)a0+a2+a4+a6.
解:(1)令x=2,则a0+a1+a2+…+a7=(1-4)7=-37=-2 187.①
(2)令x=0,则a0-a1+a2-…+a6-a7=1.②
,得a0+a2+a4+a6==-1 093.
11.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.求:
(1)a0+a1+a2+…+a14;
(2)a1+a3+a5+…+a13.
解:(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.①
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.②
①-②,得2(a1+a3+…+a13)=256,
故a1+a3+…+a13=128.
B组
1.若的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.7 B.-7 C.21 D.-21
解析:令x=1,则(3-1)n=128=2n,解得n=7,故展开式的通项为Tr+1=·(3x)7-r·()r·(-1)r=37-r··(-1)r.
令7-=-3,得r=6,故的系数为·3=21.
答案:C
2.若a为正实数,且的展开式中各项系数的和为1,则该展开式的第2 020项为( )
A. B.- C. D.-
解析:由条件知(a-1)2 020=1,则a-1=±1,因为a为正实数,所以a=2.
所以展开式的第2 020项为T2 020=·(2x)·=-2·x-2 018=-4 040·x-2 018.
答案:D
3.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+a2+…+(-1)nan=( )
A.32 B.64 C.128 D.256
解析:由题意可得,n=4.
令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256,故a0-a1+a2+…+(-1)nan=256.
答案:D
4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
A.6 B.7 C.8 D.5
解析:由二项式定理,知ak=(k=1,2,3,…,11).
又(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,故k的最大值为6.
答案:A
5.若(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小值为( )
A.2 B. C. D.
解析:令x=1,得a=2n,令x=-1,得b=4n,所以=2n+,令t=2n,则t≥2,所以=t+≥2+.
答案:B
6.若(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2= .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(-1)10,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(+1)10,
故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(-1)10(+1)10=1.
答案:1
7.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .
解析:(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.
答案:4
8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.
(1)求a0+a1+a2+a3+a4+a5;
(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)求a1+a3+a5.
解:(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①
(2)因为(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35. ②
则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.
(3)由①②两式联立,得
则a1+a3+a5=×(1-243)=-121.
9.已知=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7,求a1+2a2+3a3+…+7a7.
解:对=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7两边求导,得-1-x6=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+7a7(x+1)6.
令x=0,得a1+2a2+3a3+…+7a7=-.(共34张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
第六章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能运用函数思想分析处理二项式系数的性质.
2.理解和掌握二项式系数的性质,并会求解与二项式系数有关的问题.
3.通过该节的学习,使学生养成利用函数思想分析问题、解决问题的习惯,进一步培养学生的观察归纳、逻辑推理的思维能力.
自主预习 新知导学
二项式系数的性质
【问题思考】
1.观察以下图形,发现规律:
(a+b)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以表示成如下形式:
图①
图②
(1)每一行中,与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系
(2)二项式系数的最大值有何规律
(3)第一行中各数之和为多少 第二、三、四、五行呢 由此你能得出怎样的结论
提示:(1)相等.
(2)当n=2,4,…时,中间一项最大,当n=3,5,…时中间两项最大.
(3)21,22,23,24,25.第n行各数之和为2n.
2.填一填:
(1)从函数的观点分析二项式系数
②增减性与最大值
3.做一做:(1)下列关于(a-b)10的说法错误的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为1 024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
(2)(2x-1)6展开式中各项系数的和为 ;各项的二项式系数的和为 .
解析:(1)根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知,二项式系数之和为2n,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的.
(2)令展开式左、右两边x=1,得各项系数之和为1;各二项式系数之和为26=64.
答案:(1)C (2)1 64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)(a+b)n的展开式中某项的二项式系数是该项中非字母因数部分,包括符号等.( × )
(2)二项式展开式的二项式系数和为 .( × )
(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求展开式的系数和
【例1】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6.
解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
本例中条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.
解法一:(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093+1 094
=2 187.
解法二:∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展开式中各项的系数和,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
【变式训练1】 已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,
故a0+a1+a2+a3+a4=1.
(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①
令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②
故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
探究二
求展开式中系数或二项式系数的最大项
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.
1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.二项展开式中系数的最大项的求法,求二项展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,设二项展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第r+1项最大,应用 解出r,即得出系数的最大项.
【变式训练2】 在(3x-2y)20的展开式中,求
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
规范解答
项的系数与二项式系数的最大项问题
【典例】 已知 展开式中各项的系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
答题模板 第1步,根据展开式中各项系数和以及二项式系数和求出n;
第2步,根据通项公式求得二项式系数最大的项;
第3步,列出不等式组求得系数最大的项.
随堂练习
1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )
A.11 B.10
C.9 D.8
解析:因为只有第5项的二项式系数最大,
所以 +1=5,所以n=8.
答案:D
2.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= .
解析:依题意可得a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
答案:-256
3.在二项式(1-2x)6的展开式中,所有项的系数之和为 .
解析:令x=1,得(1-2x)6展开式中所有项的系数和为(1-2)6=1.
答案:1
答案:17
本 课 结 束