第六章计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A组
1.若x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则x·y的不同值的个数是 ( )
A.2 B.6
C.9 D.8
解析:求积x·y需分两步取值:第1步,x的取值有3种情况;第2步,y的取值有3种情况,故有3×3=9个不同的值.
答案:C
2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16
C.13 D.10
解析:分两类:第1类,直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面.故可以确定8+5=13个不同的平面.
答案:C
3.从甲地到乙地,每天有直达汽车4班.从甲地到丙地,每天有5趟班车,从丙地到乙地,每天有3趟班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )
A.12种 B.19种
C.32种 D.60种
解析:从甲地到乙地乘车的方案可分为两类,
第1类,从甲地直达乙地有4种方法;
第2类,从甲地到丙地,再从丙地到乙地,共有5×3=15种方法,故共有4+15=19种方法.
答案:B
4.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成通路的条数为( )
A.8条 B.6条
C.5条 D.3条
解析:依题意,可构成通路的条数为2×3=6(条).
答案:B
5.十字路口来往的车辆,若不允许掉头,则共有不同的行车路线用式子表示为( )
A.4×3 B.4×4
C.4×5 D.3×3×3×3
解析:(方法一)完成该任务可分为四类,从每一个方向作为入口都可以作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个、第3个、第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12种不同的行车路线.
(方法二)进入口有4种选择,出口有3种选择,由分步乘法计数原理得,共有4×3=12种不同的行车路线.
答案:A
6.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示不同的直线 条.
解析:当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.
答案:22
7.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 个.
解析:因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个).
答案:6
8.一学习小组有4名男生,3名女生,任选一名学生作代表,共有 种不同选法;若选男、女生各一名当组长,则共有 种不同选法.
解析:任选一名学生作代表可分两类,一类是从男生中选,有4种选法;另一类是从女生中选,有3种选法.根据分类加法计数原理,共有4+3=7种不同选法.
若选男、女生各一名当组长,需分两步:第1步,从男生中选一名,有4种选法;第2步,从女生中选一名,有3种选法.根据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同选法.
答案:7 12
9.若x,y∈N*,且x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数.
解:按x的取值进行分类:
当x=1时,y=1,2,3,4,5,共构成5个有序自然数对;
当x=2时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;
……
x=5时,y=1,共构成1个有序自然数对.
根据分类加法计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15个有序自然数对.
10.某乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的出场安排共有多少种
解:按出场位置顺序逐一安排:
第一位置有3种安排方法;
第二位置有7种安排方法;
第三位置有2种安排方法;
第四位置有6种安排方法;
第五位置有1种安排方法.
由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有3×7×2×6×1=252(种).
B组
1.某乒乓球队里有男队员6名,女队员5名,从中选取男、女队员各一名组成混合双打队,不同的组队方法有( )
A.11种 B.30种
C.56种 D.65种
解析:先选1名男队员有6种方法,再选1名女队员有5种方法,故共有6×5=30种不同的组队方法.
答案:B
2.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线的条数为( )
A.20 B.15
C.12 D.10
解析:由题意,正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,所以从一个顶点出发的对角线有2条.所以正五棱柱对角线的条数为2×5=10.
答案:D
3.(多选题)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数用式子表示为( )
A.4+4+4+4+4+4
B.4+4+4+4
C.3×4
D.3×4×2
解析:(方法一)完成表示不同的圆这件事有三步:第1步,确定a有3种不同的选取方法;第2步,确定b有4种不同的选取方法;第3步,确定r有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有3×4×2=24(个).
(方法二)由分类加法计数原理得,当a=1时,b=4,5,6,7,r=8或9,有4+4=8种;当a=2时,b=4,5,6,7,r=8或9,有4+4=8种;当a=3时,b=4,5,6,7,r=8或9,有4+4=8种,故方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有4+4+4+4+4+4=24(个).
答案:AD
4.已知三个车队分别有4辆、5辆、6辆车,现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务,设不同的抽调方案数为n,则n的值为 .
解析:不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分3类.
从甲、乙车队各抽取一辆共有4×5=20种方案;从甲、丙车队各抽取一辆共有4×6=24种方案;从乙、丙车队各抽取一辆共有5×6=30种方案,故共有20+24+30=74种抽调方案.
答案:74
5.三边均为整数且最大边长为11的三角形有 个.
解析:另两边长分别用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形,需x+y≥12.当y=11时,x∈{1,2,…,11},有11个三角形;当y=10时,x∈{2,3,…,10},有9个三角形;……当y=6时,x=6,有1个三角形.
故满足条件的三角形有11+9+7+5+3+1=36(个).
答案:36
6.同寝室四人各写一张贺卡,首先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同的分配方式有 种.
解析:设4人分别为甲、乙、丙、丁,分步进行:
第1步,让甲拿,有三种方法;
第2步,让甲拿到的卡片上写的人去拿,有三种方法,剩余两人只有一种拿法,故共有3×3×1×1=9(种)不同的分配方式.
答案:9
7.从0,1,2,3中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数,则满足条件的数字有多少个
解:第1类:末位为0.
第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,2,3中选1个,有3种方法;第3步,排十位,有2种方法.
故此类方法中有1×3×2=6个偶数.
第2类:末位为2.
第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,3中选1个,有2种方法;第3步,排十位,有2种方法.
故此类方法中有1×2×2=4个偶数.
则一共有6+4=10个满足条件的不同数字.
8.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的有28人,A型血的有7人,B型血的有9人,AB型血的有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法
解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法;
从A型血的人中选1人有7种不同的选法;
从B型血的人中选1人有9种不同的选法;
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,故用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,故用分步乘法计数原理,有28×7×9×3=5 292种不同的选法.
9.有0,1,2,3,4五个数字,问:
(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码
(2)可以组成多少个无重复数字的四位数
解:(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分四个步骤:
第1步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法;
第2步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法;
第3步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法;
第4步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个.
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四个步骤:
第1步,从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字,有4种不同的选取方法;
第2步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字,有4种不同的选取方法;
第3步,从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字,有3种不同的选取方法;
第4步,从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96(个).(共38张PPT)
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第六章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个计数原理的区别与联系.
2.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析并解决一些简单的实际问题.
3.通过对两个计数原理的学习,培养学生数学运算、逻辑推理的能力.
自主预习 新知导学
一、分类加法计数原理
【问题思考】
1.一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务,从A地到B地每天有7个航班,6趟火车.
(1)该志愿者从A地到B地的方案可分几类
(2)这几类方案中各有几种方法
(3)该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法
提示:(1)两类,即乘飞机、坐火车.
(2)第1类方案(乘飞机)有7种方法,第2类方案(坐火车)有6种方法.
(3)共有7+6=13种方法.
2.填一填:
一般地,有如下分类加法计数原理:
(1)完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法.
(2)推广:如果完成一件事情有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
3.做一做:家住A地的小明同学准备周末去B地旅游,从A地到B地一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次,则小明乘坐这些交通工具去B地的不同方法有( )
A.240种 B.180种 C.120种 D.90种
解析:根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90(种).
答案:D
二、分步乘法计数原理
【问题思考】
1.一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务,但需在C地停留,已知从A地到C地每天有7个航班,从C地到B地每天有6趟火车.
(1)该志愿者从A地到B地需要经历几个步骤
(2)完成每一步各有几种方法
(3)该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法
提示:(1)两个,即先乘飞机到C地,再坐火车到B地.
(2)第1步有7种方法,第2步有6种方法.
(3)共有7×6=42种方法.
2.填一填:
一般地,有如下分步乘法计数原理:
(1)完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m×n 种不同的方法.
(2)推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有
N= m1·m2·…·mn 种不同的方法.
3.做一做:现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,若一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )
A.7 B.12 C.64 D.81
解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法.故共有4×3=12(种)不同的配法.
答案:B
三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系
【问题思考】
1.区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么
提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键是看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则就是分步.
2.填一填:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于:
(1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事.
(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
3.做一做:已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A和集合B中各取一个元素,分别作为平面直角坐标系中的点的横坐标与纵坐标,则不同点的个数为( )
A.5 B.6 C.10 D.12
解析:完成这件事可分两步:第1步,从集合A中任取一个元素作为点的横坐标,有2种不同的方法;第2步,从集合B中任取一个元素作为点的纵坐标,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理,共有2×3=6种不同的方法,故有6个不同点.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( √ )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ )
(4)在分步乘法计数原理中,若事情是分两步完成的,则其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
分类加法计数原理的应用
【例1】 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人,其中一、二、三、四班分别为4人,5人,6人,7人,他们自愿组成数学课外小组,选其中一人为组长,有多少种不同的选法
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个
解:(1)分四类:
从一班中选一人,有4种选法;
从二班中选一人,有5种选法;
从三班中选一人,有6种选法;
从四班中选一人,有7种选法.
共有不同选法为N=4+5+6+7=22(种).
(2)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
1.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干类方法,每一类有若干种方法.
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事.
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2.用分类加法计数原理解题应注意以下问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算完成这件事.
(2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏,但也不能重复、交叉.
(3)若完成某件事情有n类办法,则它们两两的交集为空集,n类的并集为全集.
【变式训练1】 某校高三共有三个班,其各班人数如下表:
(1)从三个班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法
班级 男生数 女生数 总数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
解:(1)从三个班中任选一名学生,可分三类:
第1类,从(1)班任选一名学生,有50种不同选法;
第2类,从(2)班任选一名学生,有60种不同选法;
第3类,从(3)班任选一名学生,有55种不同选法.
由分类加法计数原理知,不同的选法种数为50+60+55=165.
(2)由题设知共有三类方案:
第1类,从(1)班男生中任选一名学生,有30种不同选法;
第2类,从(2)班男生中任选一名学生,有30种不同选法;
第3类,从(3)班女生中任选一名学生,有20种不同选法.
由分类加法计数原理知,不同的选法种数为30+30+20=80.
探究二
分步乘法计数原理的简单应用
【例2】 从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成多少条不同的抛物线
解:解答本题需分三步完成,
第1步,选系数a(a不能为0),有5种选法;
第2步,选系数b,有5种选法;
第3步,选系数c,有4种选法.
根据乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4=100.
若本例中的二次函数的顶点在第一象限且过原点,此时抛物线的条数为多少
解:分三步:
第1步,c=0,只有1种选法;
第2步,确定a,a从-2,-1中选一个有2种不同选法;
第3步,确定b,从1,2,3中选一个,有3种不同选法.
根据乘法计数原理得1×2×3=6,故抛物线的条数为6.
1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可.
(2)完成每一步都有若干种方法.
(3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2.利用分步乘法计数原理应注意:
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.
(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的,但也不能重复、交叉.
(3)若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成.
【变式训练2】 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第1步,有10种拨号方式,所以m1=10;
第2步,有10种拨号方式,所以m2=10;
第3步,有10种拨号方式,所以m3=10;
第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.
根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码.
探究三
两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法
解:(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.
根据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)分为三类:第1类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法.
第2类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法.
第3类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法,所以有10+35+14=59种不同的选法.
利用两个计数原理解题的策略
(1)首先要分清是“分类”还是“分步”,区分分类还是分步的关键是看哪种方法能否完成这件事情.
(2)其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”.
注意:混合问题一般是先分步后分类.
【变式训练3】 某电视台某频道某时间段连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放顺序 (用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)
解:完成这件事有三类方法.
第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放顺序;
第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放顺序;
第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放顺序.
由分类加法计数原理得,6个广告不同的播放顺序有36+36+36=108种.
易错辨析
分不清“分类”还是“分步”致错
【典例】 某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到体育场看比赛,则他进、出体育场的方案有( )
A.12种 B.7种 C.14种 D.49种
错解:由题意知,小李进体育场有7种不同方案,出体育场有7种不同的方案,故他进、出体育场共有7+7=14(种)不同的方案.
答案:C
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:出错的根本原因是没有分清小李完成进、出体育场大门的过程是分类还是分步,实际上小李到体育场看比赛,他进、出体育场大门的过程分两步:第一步进体育场,第二步出体育场.
正解:完成进、出体育场这件事,需要分两步,第1步进体育场,第2步出体育场.
第1步,进体育场共有4+3=7(种)方案;
第2步,出体育场共有4+3=7(种)方案.
由分步乘法计数原理知,进、出体育场的方案有7×7=49(种).
答案:D
利用两个计数原理解决问题时,应首先弄清是“分类”还是“分步”,其次要做到分类时不重不漏,分步时步骤完整.
【变式训练】 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,问:
(1)P可表示平面上多少个不同的点
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点
解:(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第1步先确定a的值,共有6种可能情况;第2步确定b的值,也有6种可能情况.
根据分步乘法计数原理得到平面上点的个数为6×6=36.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第1步确定a,因为a<0,所以有3种可能情况;第2步确定b,因为b>0,所以有2种可能情况.
由分步乘法计数原理得到第二象限的点的个数为3×2=6.
随堂练习
1.某一数学问题可用两种方法证明,有6名同学只会用第一种方法证明,有4名同学只会用第二种方法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )
A.10 B.16 C.20 D.24
解析:每一种方法都能证明该问题,根据分类加法计数原理,不同的选法共有6+4=10(种).
答案:A
2.若把10个苹果分成三份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有( )
A.5 B.6 C.4 D.3
解析:由于分成三份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.
综上,不同的分法种数共有1+2+1=4.
答案:C
3.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两个袋子里各取一个球,不同取法的种数为 .
解析:由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48.
答案:48
4.某商店有甲型号电视机10台,乙型号电视机8台,丙型号电视机12台,从这三种型号的电视机中各选一台检验,有多少种不同的选法
解:完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成,
第1步,从甲型号电视机中选一台,有10种不同的选法;
第2步,从乙型号电视机中选一台,有8种不同的选法;
第3步,从丙型号电视机中选一台,有12种不同的选法.
根据分步乘法计数原理,有10×8×12=960种不同选法.
本 课 结 束
