6.2 排列与组合
6.2.1 排列
1.已知下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学学习小组和物理学习小组;
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学担任学习委员和团委书记;
③从a,b,c,d这4个字母中取出2个字母;
④从1,2,3,4这4个数字中取出2个数字组成1个两位数.
其中是排列问题的有( )
A.①④ B.①②④ C.③ D.①③
解析:①是排列问题,2名同学参加的学习小组与顺序有关;②是排列问题,2名同学担任的职务与顺序有关;③不是排列问题,取出的2个字母与顺序无关;④是排列问题,取出的2个数字还需要按顺序排成一列.
答案:B
2.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数字共有( )
A.238个 B.232个 C.174个 D.168个
解析:由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个),其中无重复数字的四位数共有3×3×2=18(个),故共有192-18=174个有重复数字的四位数.
答案:C
3.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( )
A.120个 B.80个 C.40个 D.20个
解析:当十位数字为3时,个位数字和百位数字只能取1,2进行排列,能组成2个“伞数”;当十位数字为4时,个位数字和百位数字只能取1,2,3进行排列,能组成3×2=6个“伞数”;当十位数字为5时,个位数字和百位数字只能取1,2,3,4进行排列,能组成4×3=12个“伞数”;当十位数字为6时,个位数字和百位数字只能取1,2,3,4,5进行排列,能组成5×4=20个“伞数”,所以共能组成2+6+12+20=40个“伞数”.
答案:C
4.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
解析:先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有3×2种不同的排法;再排第二列,第二列第一行的字母有2种排法,排好此位置后,其他位置只有一种排法.因此共有3×2×2=12种不同的排法.
答案:A
5.若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有( )
A.24种 B.23种 C.12种 D.11种
解析:w,o,r,d的排列共有4×3×2×1=24(种),其中排列“word”是正确的,其余均错,故错误的有24-1=23(种).
答案:B
6.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有( )
A.6种 B.10种 C.8种 D.16种
解析:记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,则不同的传球方式有
其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种传球方式,同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式,共有10种传球方式.
答案:B
7.现有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,则有 种不同的种法.(用数字作答)
解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.故不同的种法共有8×7×6×5=1 680(种).
答案:1 680
8.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作,则分配方案共有 种.
解析:这是一个排列问题,分配方案共有6×5×4×3=360(种).
答案:360
9.在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦,则共有 种不同的试种方案.
解析:画出树形图,如图所示:
由树形图可知,共有11种不同的试种方案.
答案:11
10.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,若排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列有 种.(结果用数值表示)
解析:第1步不妨先排第一个位置,共有5种选择,设第1个位置排了金,由题意知金克木,火克金,则第2个位置只能从土、水中选,有两种选择,设选择了土,则由题意剩下的只有一种选择了,故这样的排列方法有5×2=10(种).
答案:10
11.写出下列问题的所有排列.
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排;
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.
解:(1)四名同学站成一排,共有24个不同的排列,它们是:甲乙丙丁,甲丙乙丁,甲丁乙丙,甲乙丁丙,甲丙丁乙,甲丁丙乙;乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲;丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲;丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲.
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有5×4=20种选法,形成的排列是:
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
12.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同的试验方法.
解:如图,
由树形图可写出所有不同试验方法如下:
a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种.
13.用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺序排成一个三位数,此时:
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个
(2)可以排出多少个不同的三位数
解:(1)三位数的每位上的数字均为1,2,3,4,5,6之一.
第1步,得首位数字,有6种不同结果;
第2步,得十位数字,有5种不同结果;
第3步,得个位数字,有4种不同结果;
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个).
(2)三位数,每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个,共有这样的三位数6×6×6=216(个).(共27张PPT)
6.2.1 排列
第六章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解排列的概念.
2.掌握两个排列相同的充要条件.
3.能正确写出一些简单问题的所有排列.
4.通过排列的学习,逐步培养学生的数学抽象和数学建模的素养.
自主预习 新知导学
排列的概念
【问题思考】
1.为提高员工的身体素质,某公司举行职工运动会,其中编务部(A)、营销部(B)、行政部(C)参加篮球比赛,试按名次顺序列举所有可能的结果.
提示:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
2.填一填:
(1)排列的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按
照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)根据排列的定义,两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全
相同,且元素的排列顺序也相同.
3.做一做:下列问题中,是排列问题的是( )
A.由1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数
B.从60人中选11人组成足球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析:选项A中组成的四位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.( × )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题.( √ )
(3)有12名学生参加植树活动,要求3人一组,共有多少种分组方案属于排列问题.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
排列的概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题.
(1)选2个小组分别去植树和种菜;
(2)选2个小组去种菜;
(3)选10人组成一个学习小组;
(4)选3人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(5)某班40名学生在假期相互通信.
解:(1)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(2)(3)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(4)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(5)A给B写信与B给A写信是不同的,存在着顺序问题,属于排列问题.
故在上述各题中(1)(4)(5)属于排列问题.
判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
【变式训练1】 判断下列问题是不是排列问题.
(1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数,可得多少个不同的对数值
(2)空间中有10个点,任何三点不共线,任何四点不共面,则这10个点共可组成多少个不同的四面体
(3)某班有10名三好学生,5名普通学生,班委会决定选5名三好学生对5名普通学生实行一帮一活动,共有多少种安排方式
(4)若从10名三好学生中选出5名和5名普通学生组成一个学习小组,共有多少种安排方式
解:(1)对数的底数与真数不同,所得的结果不同,是排列问题.
(2)四面体与四个顶点的顺序无关,不是排列问题.
(3)选出的5名三好学生与5名普通学生进行一帮一活动与顺序有关,是排列问题.
(4)选出的5名三好学生与5名普通学生组成一个学习小组与顺序无关,不是排列问题.
探究二
写出简单问题的所有排列
【例2】 (1)从1,2,3,4这四个数字中任取两个不同的数,则可组成不同的两位数有( )
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
解析:用树形图表示为
由此可知共有12个.
答案:B
(2)四个人A,B,C,D坐成一排照相,有多少种不同的坐法 将它们列举出来.
解:安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理,有4×3×2×1=24(种)坐法.
画出树形图如图所示.
1.在本例(2)中,若在条件中再增加“A不坐排头”,则结论如何
解:画出树形图如图所示.
由“树形图”可知,所有坐法为BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共18种坐法.
2.在本例(2)中,若在条件中再增加“A不坐两头”,则结论如何
解:画出树形图如图所示.
故所有可能的坐法为BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,以再安排哪个元素为分类标准进行分类,接着安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,最后按树形图写出排列.
【变式训练2】 (1)由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有( )
A.9个 B.12个 C.15个 D.18个
解析:本题要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字,用树形图表示为
由此可知共有12个.
答案:B
(2)北京、上海、香港、台北四个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的飞机票 将它们列出来.
解:先确定起点,有4种方法,再确定终点,有3种方法.
由分步乘法计数原理知,共需要4×3=12种不同的机票.列举如下:
思想方法
树形图法在解决简单排列问题中的应用
【典例】 在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中,满足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列个数是 .
解析:首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树形图进行筛选.满足a1>a2的树形图是
其次满足a3>a2的树形图是
再满足a3>a4的排列有:2143,3142,3241,4132,4231,共5个.
答案:5
随堂练习
1.下列问题属于排列问题的是( )
①从10人中选2人分别去种树和扫地;
②从10人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①② C.④ D.①③④
解析:由排列的定义知,①④为排列问题.
答案:A
2.A,B,C三名同学照相留念,成“一”字形排队,所有排列的方法种数为( )
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
解析:所有的排法有:A-B-C,A-C-B,B-A-C,B-C-A,C-A-B,C-B-A,共6种.
答案:C
3.有5名男生和2名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,则不同的选法共有 种.(用数字作答)
解析:由题意知,从7人中选出5人担任5个学科的课代表,共有7×6×5×4×3=2 520种不同的选法.
答案:2 520
4.有2张卡片的正反面,分别写上1和2,4和5,将它们并排组成两位数,则不同的两位数的个数为 .
答案:8
5.从0,1,2,3这四个数字中,每次取出3个不同的数字排成一个三位数,写出其中大于200的所有三位数.
解:大于200的三位数的首位是2或3,于是大于200的三位数有:201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
本 课 结 束
