6.2.3 组合 6.2.4 组合数
A组
1.下列四个问题属于组合问题的是( )
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
答案:C
2.若,则x的值为( )
A.2 B.4 C.4或2 D.3
解析:因为,所以x=2或x+2=6,故x=2或x=4.
答案:C
3.满足方程的x的值为( )
A.1,3,5,-7 B.1,3
C.1,3,5 D.3,5
解析:依题意,有x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16,解得x=1或x=5;x=-7或x=3,经检验知,只有x=1或x=3符合题意.
答案:B
4.若1∶1,则m,n的值分别为 ( )
A.m=5,n=2 B.m=5,n=5
C.m=2,n=5 D.m=4,n=4
解析:由=1∶1,得,故(m+1)+(m+2)=n+2,即n=2m+1.
又=3∶5,则=3∶5,解得m=2,n=5.
答案:C
5.(多选题)组合数(n>r≥1,n,r∈N)恒等于( )
A. B.
C.nr D.
解析:,B对;,D对,A错,C错.
答案:BD
6.若=12,则n= .
解析:因为=n(n-1)(n-2),n(n-1),
所以n(n-1)(n-2)=6n(n-1).
又因为n∈N*,且n≥3,
所以n=8.
答案:8
7.+…+的值等于 .
解析:原式=+…++…+=7 315.
答案:7 315
8.方程的解是 .
解析:因为,所以,由组合数公式的性质,得x-1=2x+2或x-1+2x+2=16,得x1=-3(舍去),x2=5.
答案:x=5
9.求证:(1)+2;
(2)m!++…+=m!.
证明 (1)左边=·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]=(n+2)(n+1)==右边.
(2)左边=m!(1++…+)
=m!(+…+)
=m!(+…+)
=m!(+…+)
……
=m!
=右边.
10.解不等式+2.
解:因为,所以原不等式可化为>()+(),即,也就是,所以,
即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.
又n∈N*,n≥5,所以n≥9,且n∈N*.
B组
1.已知,则n等于( )
A.14 B.12 C.13 D.15
解析:因为,所以7+8=n+1,所以n=14.
答案:A
2.已知集合M={x|x=,n≥0,且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是( )
A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q M
C.M Q D.M∩Q={1,4}
解析:由知,n=0,1,2,3,4.
因为=1,=4,=6,=4,=1,所以M={1,4,6},故M∩Q={1,4},M∪Q={1,2,3,4,6},选D.
答案:D
3.由(x∈N*)可得不相同的值可能是( )
A.46或20 B.30 C.36 D.40
解析:因为所以7≤x≤9.
又x∈N*,所以x=7,8,9.
当x=7时,=46;
当x=8时,=20;
当x=9时,=46.故A对.
答案:A
4.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有( )
A.60种 B.48种 C.30种 D.10种
解析:从5人中选派2人参加星期六的公益活动有种方法,再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有种方法,故共有=30(种)选派方法.
答案:C
5.不等式-n<5的解集为 .
解析:由-n<5,得-n<5,
所以n2-3n-10<0.
解得-2由题设条件知n≥2,且n∈N*,所以n=2,3,4.
故原不等式的解集为{2,3,4}.
答案:{2,3,4}
6.从n个红球及n个白球,总计2n个球中取出m(m≤n)个球的方法数是,该方法数我们还可以用如下方法得到:只取m个红球;取m-1个红球,1个白球;取m-2个红球,2个白球;……于是可得到组合数公式:+…++…+(m≤n),按如上方法化简:+…++…+(其中m≤n)= .
解析:因为,所以+…++…++…++…+(或).
答案:(或)
7.解不等式:>3.
解:由,得,
所以m>27-3m,所以m>=7-.
又因为0≤m-1≤8,且0≤m≤8,m∈N,
所以m=7或8.
8.求20=4(n+4)+15中n的值.
解:原方程可化为20×=4(n+4)×+15(n+3)(n+2),即+15(n+3)(n+2),
所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,
即5(n+4)(n+1)=90,
所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.
注意到n≥1,且n∈N*,所以n=2.
9.规定,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值;
(2)组合数的两个性质:①;
②是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形 若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
解:(1)=-=-11 628.
(2)性质①不能推广,例如当x=时,
有意义,但无意义;
性质②能推广,它的推广形式是,x∈R,m为正整数.
证明:当m=1时,有=x+1=;
当x≥2时,.
综上,性质②的推广得证.(共35张PPT)
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
第六章
6.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解组合的定义,正确认识排列与组合的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.通过该节的学习,逐步培养学生的数学抽象、数学建模以及运算求解三大数学核心素养,培养分析问题、解决问题的能力.
自主预习 新知导学
一、组合的概念
【问题思考】
1.①从全班40人中选出5人组成班委会.
②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务.
以上两个问题中哪个是排列 ①与②有何不同
提示:②是排列;①中选出的5人无需排列,②中选出的5人有顺序.
2.填一填:(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m,n∈N*,且m≤n)个元素
作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
3.想一想:区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么
提示:关键是看它有无顺序,有顺序的是排列问题,无顺序的是组合问题.
4.做一做:下列几个问题是组合问题的有( )
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查,有多少种不同的选法
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学,有多少种不同的选法
③4人参加5种不同的运动,每人参加一种,有多少种方法
④a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需要赛多少场
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
解析:①③与顺序有关,是排列问题;②④与顺序无关,是组合问题.
答案:D
二、组合数及组合数公式
【问题思考】
1.从1,3,5,7中任取两个数相除,
(1)可以得到多少个不同的商
(2)如何用分步乘法计数原理求商的个数
(3)你能得出计算 的公式吗
2.填一填:
(1)组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示.
(2)组合数公式:
答案:(1)B (2)0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(2)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为 .( √ )
(3)从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3名去参加某三个不同的培训班,有多少种不同的选法是组合问题.( × )
(4)现有4枚纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法是排列问题.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
组合概念的理解
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题,并用组合数或排列数表示出来.
(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少
(2)8人相互发一封电子邮件,共写了多少封电子邮件
(3)8人每2人间通电话一次,共通了多少次电话
(4)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票
判断一个问题是不是组合问题的方法
区分排列问题与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.由此可知,定序问题属组合问题,即排序时,若限定某些元素保持规定的顺序,则定序的这n个元素属于组合问题.
【变式训练1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题:
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法
解:(1)是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.
(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.
(3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.
探究二
组合数的计算与证明
答案:D
关于组合数计算公式的选取技巧
探究三
组合数性质的应用
答案:C
2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以及组合数的性质,求解时,要注意由 中的m∈N*,n∈N*,且n≥m确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
易错辨析
组合数在解方程或不等式中的应用
答题模板 第1步,由组合数的性质 得到两个关于x的一元二次方程;
第2步,解一元二次方程;
第3步,根据x的取值范围对结果进行取舍.
1.解有关组合数的方程,其方法是利用组合数公式或性质转化为不含组合数的代数方程,再解这个方程,对最后的结果要进行检验.
2.应注意两个问题:一是组合数的隐含条件;二是转化的等价性.
∵n(n-1)(n-2)>0,
∴n2-11n-12<0,解得-1结合n的取值范围,得n=5,6,7,8,9,10,11.
随堂练习
1.以下四个问题属于组合问题的是( )
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两名同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2位幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
答案:C
2.从1,2,3,4,5中任取两数,两数相乘,得到的积的不同个数为( )
A.5 B.20 C.10 D.25
解析:积的不同个数为 =10个.
答案:C
答案:7或9
答案:20 161 700
本 课 结 束
