浙江省杭州二中2013届高三第五次月考数学理试题

2012杭州二中高三第五次月考数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是实数集，，则
(A) (B) (C) D
2.设为等比数列的前项和，,则
(A) (B) (C) (D) 21世纪教育网
3.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是
(A) (B) (C) (D)
4.下列四个条件中，是的必要不充分条件的是
(A) (B)
(C)为双曲线， (D)，
5.已知函数的导函数为，且满足，则
(A) (B) (C) (D)
6.若等边的边长为，平面内一点满足，则
(A) (B) (C) (D)
7.在平面直角坐标系中，有两个区域，是由三个不等式确
定的；是随变化的区域，它由不等式所确定．设的公共
部分的面积为，则等于
(A) (B) (C) (D)
8.已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为. 若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
从正方体的棱和各个面的面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是
(A) (B) (C) (D)
在等差数列中，表示其前n项和，若，则的符号是
(A)正 (B)负 (C)非负 (D)非正
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.复数（是虚数单位）的虚部是 ▲
12.在总体中抽取了一个样本，为了便于计算，将样本中的每个数据除以后进行分析，得出新样本的方差为，则估计总体的标准差为 ▲
13.已知为直线，为平面．在下列四个命题中，
① 若，则 ； ② 若 ，则；
③ 若，则； ④ 若 ，则．
正确命题的个数是 ▲
14.定义：的运算原理如图所示，设，则在区间上的最小值为 ▲ ．
15.将个相同的和个相同的共个字母填在的方格内，每个小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 ▲ 种（用数字作答）
已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为 ▲ ．
若时,不等式恒成立,则的取值范围是 ▲ ．
（本小题满分14分）
已知，且.设函数
(1) 求函数的解析式；
(2) 若在锐角中，，边，求周长的最大值．
19.（本小题满分14分）
四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为（）.将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数.
（1）求ξ的分布列（用表示）；
（2）若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围.
20.( 本题满分14分 )
已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂
足为，在线段上，且，，，是的
中点，四面体的体积为．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若点是棱上一点，且，求的值．
21.（本小题满分15分）
如图，椭圆的左、右焦点分别为，已知点
和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，(I)若，求直线的斜率；(II)求证：是定值.
22.（本小题满分15分）
设函数21世纪教育网
（1）若与在为同一个值时都取得极值，求的值.
（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有
求①的表达式；②的最大值及相应的值.
杭州二中2012学年第二学期开学考数学试卷答案
D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.C
7.D
8.D解析：∵ ·＝0?PA⊥PB.又PA，PB为圆O切线，∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
∴ 四边形OAPB为正方形．∴ OP＝b≤a，即a2≥2b2＝2(a2－c2)?a2≤2c2，∴ ≤e<1.
9.B
10.A　解析：∵ Sn＝na1＋d＝　(1)，Sm＝ma1＋d＝　(2)，
∴ 由(1)(2)得d＝，a1＝.
故Sm＋n－4＝(m＋n)a1＋d－4＝＞0.(m≠n)
11
12.300
13. 2
14.－6　解析：f(x)＝，画出其图象易知：f(x)min＝－6.
15.198
16.18π　解析：分别以l1、l2为x轴、y轴建立直角坐标系，
设线段BC中点为E，则过A、B、C三点的圆即为以E为圆心、为半径的圆，
∵ B、C分别在l1和l2上运动，∴ 圆心E在以A为圆心、AE＝为半径的圆上运动，
所以，过A、B、C三点的动圆所形成的面积为以A为圆心、3为半径的圆的面积为18π.
17.
18.（本小题满分14分）
解：(1) ? (4分)
(2) 由(1)及知：2sinA＝，sinA＝.
∵ 0∴ A＝60°.(8分)
由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccos60°，即(b＋c)2＝3＋bc，(10分)
∴ (b＋c)2＝3＋bc≤3＋
?b＋c≤2，(12分)
∴ △ABC周长l＝a＋b＋c＝b＋c＋≤3，
所以，△ABC周长最大值为2＋.(14分)
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为.

∴ξ的分布列为
ξξ
ξ0
21
2
23
34
……………………………7分
（Ⅱ）∵∴ …10分
∴，解得 …13分
∴的取值范 . ……………14分
20.( 本题满分14分 )
解法一： （1）由已知
∴PG=4
如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系
o—xyz，则
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0）

（2）设F（0，y , z）
在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
解法二：
（1）由已知
∴PG=4
在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=
（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=
21.（本小题满分15分）
解 (1) 由题设知.
由点(1,e)在椭圆上，得
解得，于是，
又点在椭圆上，所以，即，解得
因此，所求椭圆的方程是.....................4分
由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为,
直线的方程为.设
由得,解得
故①
同理, ②
(ⅰ)由①②得解得，..........9分
因为，故，所以直线的斜率为
（ⅱ）因为直线与平行,所以,于是
故.由点B在椭圆上知
从而.同理
因此
又由①②知
所以.因此是定值.....15分
22.（本小题满分15分）
解:⑴ 易知，在时取得极值.
，
由题意得 ，解得 . ………5分
⑵ ① 由，，知.
当 ，即时，要使，在上恒成立，而要最大的，所以只能是方程的较小根.
因此，.
当，即时，同样道理只能是方程的较大根，.
综上得 ………10分
② 当时，；21世纪教育网
当时，.
故当且仅当时，有最大值. ………15分