2013年“华约”大学自主招生数学全真模拟试题1（附带详解答案）

2013年“华约”
高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1
Advanced Assessment for Admission（AAA）
数学与逻辑
试题说明：本试题为重组试题，知识能力要求与华约数学试题相近，试题范围参照2012华约真题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是（ ）
A．(1，1+ B．[，1+ C．（1， D．[，
2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( )
A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/7
3．正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、、、的大小关系（ ）
（A）（B）（C）（D）
4. 已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2007|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2007|（x∈R），且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．则a的值有（ ）.
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个
5.平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6. 若m、n∈{x|x＝a2×102＋a1×10＋a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，2，并且m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（ ）．
（A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个
7．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为( ).
A 4025 B 4250 C 3650 D 4425
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为
的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )
A 96 B 108 C 112 D120
9．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．210+53 B.2 11 +53 C.110×（2 9－1） D.110×（2 10－1）
10如图，以、为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，…，如此继续下去．则下面选项中错误的是 ( )
A所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
B每一个正三角形都有一个顶点在直线（）上；
C第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是；
D第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是．
解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.（本小题满分14分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．
（1）求双曲线方程；
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（本小题满分14分）已知函数
（I）求
（II）已知数列满足,,求数列的通项公式;
(Ⅲ) 求证:.
13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
14.（本小题满分14分）在△ABC中，设A、B、C的对
边分别为a、b、c向量
（1）求角A的大小；
（2）若的面积.
15．（本小题满分14分）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
2013年“华约”
高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1答案
1．C 2.B
3.A　
4.解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在－1≤x≤1时，恒有
f(x)＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．
所以当－1≤a2－3a＋2≤1，且－1≤a－1≤1时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．
由于不等式－1≤a2－3a＋2≤1的解集为≤a≤，不等式－1≤a－1≤1的解集为0≤a≤2．因此当≤a≤2时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1). 故选（D）．
5．（B）．
6.解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1） 由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2） 由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种. 故选（C）．
A 8.B解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能， 当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，
9．（D）． 10.C
解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为1/64 ，故顶点P6的横坐标为63/64 ，P5的纵坐标为 /2-/8-/16 =5/16
从而顶点P6的纵坐标为5/16 +/64 =21/64 ，故C错误；
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn= ，则，故D正确．
11.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为．
又直线方程为．由，得
． ①
设，，则，．
因为 ，所以 ，．
结合，解得，．代入，得，化简得．又
且．
所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．
故双曲线的方程为．
（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．
当时，，，因为，所以 ．
将代入，并整理得，．
于是 ，解得．
当时，，而时，，符合．
所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．
12.解:()因为
所以设S=（1）
S=……….(2)
(1)+(2)得:
=, 所以S=3012
()由两边同减去1,得
所以,
所以,是以2为公差以为首项的等差数列,
所以
因为
所以
所以
>
13 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得
当时;;当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
14 解（1）
又
（2）
为等腰三角形，
15 解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. 
(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.
综上所述，所证不等式成立.
(Ⅱ)证：当
而由（Ⅰ），
（Ⅲ）解：假设存在正整数成立，
即有（）+＝1.　　②
又由（Ⅱ）可得
（）+
+与②式矛盾，
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42＝52，等式成立；
当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的n只有n=2,3.