（7）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.设等差数列的前n项和为，若，，则的值为( )
A.10 B.28 C.30 D.145
2.设等差数列的前n项和为，若，则的值为( )
A.60 B.120 C.160 D.240
3.已知数列的前n项和，若，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.在首项为2的等差数列中，，前n项和，，其中a，b，c，d为常数，则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.设数列满足，，且，则的值为( )
A. B. C.3 D.
（多选）
6.已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的取值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则下列结论中正确的有( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前n项和为，且，，，则正整数______.
9.已知数列的前n项和，则其通项公式__________.
10.设数列的前n项和为，且，数列满足，且对任意正整数n，都有，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：数列为等差数列.
（3）令，问是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则，，解得，，则.
2.答案：B
解析：由题可知，由等差数列的性质可知，则，故.
3.答案：D
解析：由，得，当时，，当时也成立，则，.又，则，则，，则，所以.
4.答案：C
解析：由是等差数列，得.由，得，解得，则，，，解得，，则.
5.答案：B
解析：令，则，则数列是等差数列.又，，则公差为3，所以，则，所以.
6.答案：AB
解析：由题意，得，，，则数列为递增数列，其前n项和，当时，；当时，，故n的取值可以是8，9，故选AB.
7.答案：AD
解析：设的首项为，的公差为d.由题意，得，，，故A正确；因为正负不确定，故B错误；因为和异号，且，所以和中至少有一个数是负数.又因为，所以，所以，故D正确；所以一定是负数，即，故C错误.故选AD.
8.答案：4
解析：因为是等差数列的前n项和，所以数列是等差数列，所以，即，解得.
9.答案：
解析：当时，.当时，适合上式，故.
10.答案：（1）因为数列的前n项和，
所以当时，；
当时，，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）因为对任意正整数n，都有，，成等比数列，
所以，即，
所以，
两式相除，得，即.
当n为奇数时，，所以，
当n为偶数时，，
又，所以，
所以，
综上，，
所以，
所以数列为等差数列.
（3）由（2），知，
所以，
所以，，.
假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，
则，
整理，得.
又m，k都是正整数，所以，5，25，即，3，13，对应的，23，25，
所以存在或或，
使得，，成等比数列.（6）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.在数列中，若，，，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
2.已知且，函数，数列满足，且是递增数列，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知数列是一个递增数列，满足，，，则( )
A.4 B.6 C.7 D.8
4.给出以下通项公式：
①；②；③.其中可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
5.下列各组数能组成数列的是( )
A.，， B.，， C.6，8，10 D.3，，9
（多选）
6.已知数列中，，，下列选项中能使的n为( )
A.17 B.16 C.8 D.7
7.设数列的前n项和为，，，则( )
A.是等比数列 B.是单调递增数列
C.是单调递减数列 D.的最大值为12
8.在斐波那契数列中，，，.已知为该数列的前n项和，若，则_____________.
9.已知数列中，，，则数列的通项公式为___________.
10.已知数列的各项均为正数数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，所以数列是等差数列，公差，所以，所以，故选A.
2.答案：D
解析：因为是递增数列，所以，解得，所以实数k的取值范围是.
3.答案：B
解析：当时，.
因为是递增数列且，所以或或.
当时，代入，得，矛盾，舍去.
当时，代入，得，
所以，，
即，，，.
又是一个递增数列，且，所以.
当时，代入，得，不满足数列是一个递增数列，舍去.
4.答案：D
解析：代入验证，可知①②③均可以作为，0，，0，，0，…的通项公式.
5.答案：D
解析：，，选项A中的三个数不能组成等比数列. ，，选项B中的三个数不能组成等比数列. ，，选项C中的三个数不能组成等比数列. ，，选项D中的三个数能组成等比数列.故选D.
6.答案：BD
解析：由，，得，，，所以数列是周期为3的数列，所以，.故选BD.
7.答案：CD
解析：本题考查等差数列的定义、通项公式、前n项和及数列的单调性.由，得，知是等差数列，不是等比数列，故A错误；
因为是公差的等差数列，所以是单调递减数列，故B错误，C正确；
由得，即，所以当或4时，取得最大值，最大值为，故D正确.故选CD.
8.答案：
解析：由已知，得，，…，，以上各式相加，得，即.又，，所以.
9.答案：
解析：易知，由，可得，
所以当时，，
所以，
所以.
因为当时也满足上式，
所以数列的通项公式为.
10.答案：（1）因为，
所以，
两式相减得，
整理得，
即，所以为常数列.
所以，
所以.
（2）由1得，，
所以，
两式相减得，.
（，
所以.（9）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.数列的通项公式为,它的前项和,则( )
A.9 B.10 C.99 D.100
2.已知数列的通项公式是,则其前20项和为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中,,则数列的前 2 018项和为( )
A.1 008 B.1 009 C.2 017 D.2 018
4.若数列的通项公式是,则( )
A.1 009 B.3 027 C.5 217 D.6 106
5.已知数列的通项公式为,设,则数列的各项之和为( )
A.36 B.33 C.30 D.27
（多选）
6.已知数列:，…，若，设数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.
B.数列是公比为8的等比数列
C.若，则数列的前2020项和为4040
D.若，则数列的前2020项和为
8.已知中,设数列的前项积为,则__________.
9.已知正项数列中，，，，，数列的前n项和为，则的值是 .
10.已知数列中，，，数列是公比为的等比数列.
（1）求使成立的q的取值范围；
（2）求数列的前2n项的和.
答案以及解析
1.答案：C
解析：数列的通项公式为,则.
解得.故选C.
2.答案：B
解析：数列的前20项和.故选B.
3.答案：D
解析：设数列的公差为,由解得.设,数列的前2 018项和.故选D.
4.答案：B
解析：由,则.故选B.
5.答案：D
解析：由,知,解得.所以.又因为,所以满足的所有的取值为,即.
因为,所以.
所以数列的各项之和.因为,所以.所以.故选D.
6.答案：AC
解析：
7.答案：CD
解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和的公式、数列求和的方法.由等差数列的性质可知，，故A错误；设的公差为d，则有解得，故，则数列是公比为的等比数列，故B错误；若，则的前2020项，故C正确；若，
则的前2020项和，故D正确.故选CD.
8.答案：-2
解析：由题意知所以数列是周期为3的周期数列,则.
9.答案：3
解析：因为，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以，
所以数列的前n项和，
则.
10.答案：（1）数列是公比为q的等比数列，
，.
由，
得，
，即，
解得，故q的取值范围为.
（2）由数列是公比为q的等比数列，
得，即，
这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q.
又，，
当时，
.
当时，.
数列的前2n项的和.（2）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.55 B.60 C.65 D.75
2.已知数列满足，且，，则( )
A.2021 B. C. D.
3.在等差数列和正项等比数列中，，，则的前2021项和为( )
A.2021 B.4042 C.6063 D.8084
4.设数列满足，若表示大于x的最小整数，如
，记，则数列的前2022项之和为( )
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
5.已知等差数列的前n项和为，若，，设，则的前n项和为( )
A. B. C. D.
（多选）
6.已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，可看成关于n的一次函数，且，，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.对任意的，都有 D.对任意的，都有
7.已知数列是等差数列，其前n项和为，且满足，则下列结论正确的是( )
A. B.最小 C. D.
8.已知等比数列的前n项和为，，设，那么数列的前21项和为______________.
9.设是等差数列的前n项和，，，则的最小值为_______________.
10.已知正项数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设等差数列的公差为d.
，
，
解得，则，故选C.
2.答案：B
解析：由及可知，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即，所以，故选B.
3.答案：D
解析：在正项等比数列中，，解得，即，所以数列的前2021项和，故选D.
4.答案：B
解析：，.
又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
，
，
则数列的通项公式，
则数列的前2022项之和为
，故选B.
5.答案：A
解析：设等差数列的首项为，公差为d，
则解得，
所以，，
所以，
所以
，故选A.
6.答案：AD
解析：因为可看成关于n的一次函数，所以数列是等差数列，设其公差为d，则解得或所以数列的通项公式为或，选项A正确；当时，，，故选项B不正确；易知，，因此，选项C不正确；当时，，，，当时，，，，选项D正确.故选AD.
7.答案：AC
解析：设数列的公差为d，因为，所以，所以.
所以，所以，故A一定正确.
，所以，故C一定正确.
显然B与D不一定正确.故选AC.
8.答案：273
解析：设等比数列的公比为，
由题意得，
所以，
所以，则，
所以，
则数列是首项为3，公差为1的等差数列，
所以.
9.答案：4
解析：设等差数列的公差为d，由题意可知解得，.所以，则.易知函数的零点为和，当n接近0或时，取得最小值，又，，，所以当时，取得最小值4.
10.答案：(1).
(2).
解析：(1)由，得，
因为，所以，即，
令，则，又，所以，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，故.
(2)由(1)得，
则.
当时，；
当时，，
所以
，
所以.
综上，.（4）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.设数列满足，若表示大于x的最小整数，如
，记，则数列的前2022项之和为( )
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
2.已知等比数列的前n项和为，且，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前n项和为，若，，设，则的前n项和为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为( )
A. B. C. D.
5.正整数数列的前n项和为，则数列的前100项和为( )
A. B. C. D.
（多选）
6.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，，2.记，数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前n项和为，且有，.数列的前n项和为，则以下结论正确的是( )
A. B. C. D.为递增数列
8.已知数列满足，，则数列的前50项和为__________.
9.设，且，则____________.
10.已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，.
又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
，
，
则数列的通项公式，
则数列的前2022项之和为
，故选B.
2.答案：B
解析：当时，；当时，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，且，则，，故选B.
3.答案：A
解析：设等差数列的首项为，公差为d，
则解得，
所以，，
所以，
所以
，故选A.
4.答案：D
解析：因为，故数列为等比数列.又因为，，所以，则，所以，故选D.
5.答案：C
解析：由题意，正整数数列的前n项和，，则，故选C.
6.答案：ABD
解析：本题考查新定义数列、递推公式以及数列的分组求和问题.由有3项，有5项，有9项，有17项，…，故有项，所以，即，故A正确；由，，，，…，，故C错误；由，可得，故B正确；由，故D正确.故选ABD.
7.答案：BD
解析：由，得，化简得，根据等比数列的性质得数列是等比数列.易知，，故的公比为2，则，，，.由裂项相消法得.故B正确，C错误，D正确.根据知A选项错误，故选BD.
8.答案：-52
解析：由，得，则，，，，所以，于是数列的前50项和.
9.答案：10
解析：，则，解得.
10.答案：(1).
(2)
解析：(1)设数列的公差为d，
则，解得，
故数列的通项公式为.
(2)由(1)知
当n为奇数时，
.
当n为偶数时，
.
故（8）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.已知等比数列的前n项和为，，，则的值为( )
A.-9 B.-21 C.-25 D.-63
2.已知在等比数列中，最小，且，，前n项和，则n的值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
3.设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且，则m的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.10
4.设为等比数列的前n项和，若，，则等于( )
A. B. C. D.
5.若数列的前n项和为，且，则等于( )
A. B. C. D.
（多选）
6.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是( )
A. B. C.的最大值为 D.的最大值为
7.设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是( )
A. B. C. D.
8.已知数列是等差数列，其公差为1，且是与的等比中项，是的前n项和，则________.
9.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则__________.
10.设数列的前n项和为，且，数列满足，且对任意正整数n，都有，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：数列为等差数列.
（3）令，问是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：方法一：设等比数列的公比为q，则，，解得，则.
方法二：因为是等比数列，所以，，成等比数列，则，故.
2.答案：B
解析：由等比数列性质，得，与联立，且最小，则，，则，解得，所以，解得.
3.答案：C
解析：由，，成等差数列，得（*），设等比数列的公比为q，当时，（*）式不成立，则，（*）式为，化简，得，解得，所以，则，解得.
4.答案：B
解析：方法一：设等比数列的公比为q，则解得所以，，所以.
方法二：设等比数列的公比为q.因为，所以，所以.
5.答案：B
解析：当时，，则；当时，，则，所以，则数列是首项为1，公比为4的等比数列，则.
6.答案：ABC
解析：由可知，
是数列中的最大项，故A、B、C正确.因为是递增的，无最大值，故D不正确.
7.答案：AB
解析：设数列的首项为，公比为q，则，
A，，所以数列是公比为q的等比数列；
B，，所以数列是公比为的等比数列；
C，因为，所以当时，不是一个常数，所以数列不是等比数列；
D，当的，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列.
8.答案：54
解析：为等差数列，其公差为1，且是与的等比中项，，即，解得，.
9.答案：64
解析：依题意，有，所以，两式相除得，所以，，，…成等比数列，，，，…成等比数列.因为，所以，所以，.又，所以.
10.答案：（1）因为数列的前n项和，
所以当时，；
当时，，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）因为对任意正整数n，都有，，成等比数列，
所以，即，
所以，
两式相除，得，即.
当n为奇数时，，所以，
当n为偶数时，，
又，所以，
所以，
综上，，
所以，
所以数列为等差数列.
（3）由（2），知，
所以，
所以，，.
假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，
则，
整理，得.
又m，k都是正整数，所以，5，25，即，3，13，对应的，23，25，
所以存在或或，
使得，，成等比数列.（1）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，则使成立的n的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知数列满足，，设，使不等式成立的n值是( )
A.4或5 B.5 C.5或6 D.6
3.若数列满足，则称数列为斐波那契数列.1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：.在斐波那契数列中，若k满足，给出下列结论：①k可以是任意奇数；②k可以是任意正偶数：③若k是奇数，则k的最大值是999；④若k是偶数，则k的最大值是500.其中正确结论的序号是( )
A.①④ B.②③ C.①② D.③④
4.已知数列满足，且且，集合，则集合A中元素的最小值可能为( )
A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
5.已知正项数列满足，则下列结论中正确结论的个数是( )
①存在，使得；
②是等比数列；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
（多选）
6.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，，2.记，数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，则下列说法正确的有( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，3，则是等比数列
D.若，，则
8.设数列的前n项和为，且满足①恒成立，②，③是一个递减数列，写出一个满足以上条件的数列：_______________.
9.写出一个同时具有下列性质①②的数列，____________.
①，m，；②，.
10.已知数列的前n项和为，，，.
（1）求；
（2）令，证明：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设等比数列的公比为q，
由题意可知当时，；
当时，，
.
，，
，
，，n的最大值为8，故选D.
2.答案：D
解析：，，则数列是公差为2的等差数列.又，则，即，，数列是递增数列.，，，有且只有满足条件，故选D.
3.答案：B
解析：由可得.
若k为偶数，则，
此时，即，k无最大值，所以②正确，④错误；
若k为奇数，则，
此时，即，
此时k的最大值为999，所以①错误，③正确.故选B.
4.答案：B
解析：由，得或，相当于在数轴上从所对应的点前进3步或后退2步得到所对应的点.
对于选项A，若集合A中元素的最小值为-3，则，又，
故集合A中元素的最小值不可能为-3；
对于选项B，若集合A中元素的最小值为-4，则可依次为，
故集合A中元素的最小值可能为-4；
对于选项C，若集合A中元素的最小值为-5，则，或，故集合A中元素的最小值不可能为-5；
对于选项D，若集合A中元素的最小值为-6，则，
故集合A中元素的最小值不可能为-6.综上，选B.
5.答案：B
解析：易知，当且仅当时等号成立，
由为正项数列，得，故，
所以，故①错误，③正确；
由题意得，
显然，故，不是等比数列，故②错误；
，故④正确.综上所述，选B.
6.答案：ABD
解析：本题考查新定义数列、递推公式以及数列的分组求和问题.由有3项，有5项，有9项，有17项，…，故有项，所以，即，故A正确；由，，，，…，，故C错误；由，可得，故B正确；由，故D正确.故选ABD.
7.答案：BC
解析：本题考查数列的递推公式及数列的通项公式.A选项：若，则，即.又，则，，故A错误.B选项：若，则，即，即，则.又，则，所以是首项为1，公比为的等比数列，则，即，即，故B正确.C选项：若，则，即，则，所以是公比为的等比数列，故C正确.D选项：若，则，则，则，即.又，则，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，即，故D错误.故选BC.
8.答案：（答案不唯一）
解析：本题考查数列求和公式、数列的单调性.易知恒成立，满足条件①：，则.又，所以，满足条件②；由易知是递减数列，满足条件③.
9.答案：（答案不唯一）
解析：由可得数列为等比数列，设，由得，所以，因为，所以可取，从而，所以.
10.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为，，
所以，
故，即，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
故，则.
（2）因为，，
所以.
又符合上式，所以.
因为，
所以
，
所以.（5）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.银行贷款年还款，其中A是贷款额度，r是年利率，n是贷款年数.小李在某银行贷款100000元用于买房，年利率是5%，每年需归还23098元，则小李的贷款年数为（参考数据：，，）( )
A.8 B.7 C.6 D.5
2.已知数列满足，，记数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，若不等式成立，则n的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.某大学毕业生为自主创业于2014年8月初向银行贷款240000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2014年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于2019年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少( )
（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘利率；一年按12个月计算）
A.18000元 B.18300元 C.28300元 D.36300元
5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为(单位:吨),但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )
A.5年 B.6年 C.7年 D.8年
（多选）
6.已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的取值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.设是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的有( )
A. B. C. D.
8.无穷数列由k个不同的数组成,为的前n项和.若对任意,,则k的最大值为__________.
9.在等差数列中，.如果是与的等比中项，那么____________.
10.某地有荒坡2 700万亩,若从2010年初开始进行绿化造林,第一年绿化100万亩,以后每一年比上一年多绿化50万亩.
(1)到哪一年可以使所有荒坡全部绿化成功
(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米,每年树木木材量的自然生长率为20%,那么当整个荒坡全部绿化完成的那一年年底,共有木材多少万立方米 (结果保留整数,)(注：亩,我国市制土地面积单位,1亩≈666.7平方米)
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意得，化简得，结合参考数据可得.故选D.
2.答案：A
解析：本题考查递推数列数列求和、不等式.
第1步（对数列通项进行放缩）：
由已知可知，，，，故数列是正项递减数列，.因为，所以.利用累加法，知，可得，即，即，所以.利用累乘法，知，即，所以.
第2步（求和比较）：
.显然，.综上所述，.
3.答案：B
解析：由于，故是公差的等差数列，其前n项和，故，即.要求成立时整数n的最大值，则此不等式对应一元二次方程的判别式，即，又，则，故n的最大值为7.
4.答案：B
解析：由题意，可知该大学毕业生两种还款方式所还的本金都是240000元. 该大学毕业生决定2019年8月初将剩余贷款全部一次还清，从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也相同. 按原约定所有还款数额-按现计划的所有还款数额=按原约定还款方式从2019年9月起到最后还完这60个月所还的利息. 每月应还本金：（元），2019年8月还完后本金还剩（元）. 2019年9月应还利息为；2019年10月应还利息为；2019年11月应还利息为；…；最后一次应还利息为.后60个月所还的利息为（元）.故选B.
5.答案：C
解析：由题意知第一年年产量为；以后各年年产量为，当时也适合上式，.令，得,，故生产期限最长为7年.
6.答案：AB
解析：由题意，得，，，则数列为递增数列，其前n项和，当时，；当时，，故n的取值可以是8，9，故选AB.
7.答案：ABC
解析：设数列的首项为，公比为q.对于A，由于（常数），故A正确；对于B，因为（常数），所以数列构成公比为的等比数列，故B正确；对于C，，且（常数），故C正确；对于D，由（常数），所以数列构成公差为的等差数列，不是等比数列，故D错误.故选ABC.
8.答案：4
解析：要满足 ,说明的最大值为3,最小值为2所以涉及最多的项的数列可以为,所以最多由4个不同的数组成.
9.答案：9
解析：设等差数列的公差为d，由题意得，.又是与的等比中项，，即，，解得或（舍去）.
10.答案：(1)设从2010年开始,各年绿化造林的万亩数依次构成等差数列,其中.设第年可以使所有荒坡全部绿化成功,由,解得,所以到2018年年底可以使所有荒坡全部绿化成功.
(2)由(1)知,到2018年年底共9年,设到2018年年底木材总量为万立方米,则.
记①,
②,
②①,得,..
故到2018年底,共有木材603万立方米.（3）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共7层，从第二层起，上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列，则的值为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
2.在等差数列和正项等比数列中，，，则的前2021项和为( )
A.2021 B.4042 C.6063 D.8084
3.已知等比数列的前n项和为，且，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前n项和为，且公比，，，则( )
A. B. C. D.
（多选）
6.已知等比数列的公比为q，前n项和为，且满足，则下列说法正确的是( )
A.为单调递增数列 B.
C.成等比数列 D.
7.已知数列为等比数列，则( )
A.为等比数列
B.为等比数列
C.为等比数列
D.不为等比数列（为数列的前n项和）
8.若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比__________.
9.已知等比数列的前n项和为，，设，那么数列的前21项和为______________.
10.已知各项均为整数的等比数列的前5项和为22，且成等差数列，前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得数列为等比数列，且公比，
解得，
则，
，
从而，
，故选C.
2.答案：D
解析：在正项等比数列中，，解得，即，所以数列的前2021项和，故选D.
3.答案：B
解析：当时，；当时，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，且，则，，故选B.
4.答案：D
解析：因为，故数列为等比数列.又因为，，所以，则，所以，故选D.
5.答案：B
解析：由等比数列的性质知，，故，可看作是一元二次方程的两根，解得，或，.又，，，，，，，故选B.
6.答案：BD
解析：本题考查等比数列的通项公式、性质及前n项和.由，可得，解得.当首项时，为单调递减数列，故A错误；，故B正确；假设成等比数列，则，即，等式不成立，则不成等比数列，故C错误；，故D正确.故选BD.
7.答案：BCD
解析：因为数列为等比数列，所以设其公比为，则数列的通项公式为.对于A，，当时，，故不一定为等比数列，所以A不正确；对于B，，所以（常数）对一切都成立，故为等比数列，所以B正确；对于C，，所以（常数），故为等比数列，所以C正确；对于D，因为数列的前n项和为，所以当时，（其中），此时不为等比数列，故D正确.故选BCD.
8.答案：2
解析：本题考查等比数列的性质.因为数列是等比数列，所以.又因为，解得或由无穷等比数列的各项均大于1，可知，所以因为，所以，解得（负值舍去）.
9.答案：273
解析：设等比数列的公比为，
由题意得，
所以，
所以，则，
所以，
则数列是首项为3，公差为1的等差数列，
所以.
10.答案：(1).
(2).
解析：(1)设等比数列的首项为，公比为q，前n项和为，
由，整理得，
解得或.
若，由前5项和为22可得，不满足要求；
若，则，解得，
所以.
(2)因为，则，
所以，解得.（10）数列 -2022届新高考数学提分计划 新高考Ⅱ专用
1.某小区现有住房的面积为平方米,在改造过程中政府决定每年拆除平方米旧住房,同时按当年住房面积的10%建设新住房,则年后该小区的住房面积为( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和为,且.记为数列的前项和,则使成立的最小正整数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.某大学毕业生为自主创业于2014年8月初向银行贷款240 000元,与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款,从2014年9月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为0.5%,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款,计划于2019年8月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少( )
(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率；一年按12个月计算)
A.18 000元 B.18 300元 C.28 300元 D.36 300元
4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
5.现存入银行8万元,年利率为,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是( )
A.万元 B.万元 C.万元 D.万元
（多选）
6.已知数列是等差数列,是等比数列,.记数列的前项和为,则( )
A. B. C. D.
7.记,若是等差数列,则称1为数列的“等差均值”;若是等比数列,则称1为数列的“等比均值”.下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.对于任意,都有
8.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________
9.若等差数列和等比数列满足，则__________.
10.已知数列的前n项和为,满足且
(1)证明数列是等比数列,并求其通项公式
(2)设,那么数列是否是等差数列 若能,求出t的值,若不能说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意,第一年的住房面积为,第二年的住房面积为,
则.
设存在实数,使得,则,
是首项为,公比为1.1的等比数列,
则,
.
故选B.
2.答案：C
解析：由,可知,,即.时,,,,.数列是以1为首项,以为公比的等比数列..又,数列是以为首项,以为公比的等比数列..,, 即,.又的最小值为7.故选C.
3.答案：B
解析：由题意,可知该大学毕业生两种还款方式所还的本金都是240 000元.该大学毕业生决定2019年8月初将剩余贷款全部一次还清,从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也相同.按原约定所有还款数额按现计划的所有还款数额=按原约定还款方式从2019年9月起到最后还完这60个月所还的利息.每月应还本金：(元),2019年8月还完后本金还剩(元). 2019年9月应还利息为；2019年10月应还利息为；2019年11月应还利息为；…；最后一次应还利息为.后60个月所还的利息为
（120000-2000×2）×(元).故选B.
4.答案：C
解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数构成等比数列.设细菌将病毒全部杀死需要秒钟，则，
，，又，即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒钟，故选C.
5.答案：C
解析：定期自动转存属于复利问题,5年末的本利和是万元.
6.答案：ABD
解析：设数列的公差为,数列的公比为,依题意有得故,故A,B正确;则,所以数列的前项和,故C错误,D正确.
7.答案：ABC
解析：对A,由题意得,
所以,
所以,
两式相减,得,当时,,符合上式,
所以,故A正确;
对B,由题意得,
所以,
所以,
两式相减,得,当时,,符合上式,所以,故B正确;
对C,由题意得,所以,则,当时,,符合上式,所以,故C正确;
对D,当时,不成立,故D错误.
8.答案：3
解析：根据题意得,
若极限存在并能使等号成立,则
9.答案：1
解析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得 ，那么 .
10.答案：(1)由,得当时,,得
当时,有,结合,得,得
得
所以数列是以为首项,为公比的等比数列
故
(2)根据,,得,
故,
若数列是等差数列,则
则
即
得得或,这与,且矛盾
所以数列不可能是等差数列
