8.3简单几何体的表面积与体积（1）(共31张PPT)

(共31张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色；一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装；“水立方”外墙所用显示屏的面积计算。
在这些实际问题中，所需涂料的多少、彩纸的大小、显示屏的面积与围成几何体的各个面的面积密切相关．
引入：简单几何体表面积如何计算？
情境：
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题一：初中已经学过了特殊的棱柱——正方体和长方体的表面积，正方体和长方体的展开图与其表面积有怎样的关系？
几何体表面积
展开图的面积
平面图形面积
空间问题
平面问题
转化
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
探究一：一般的棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）直棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图是一个长方形
底面是正六边形
底面是正六边形
正六棱柱
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
（2）斜棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧棱柱的侧面展开图是若干平行四边形
底面是平行四边形
底面平行四边形
平行六面体
棱柱的表面积
直棱柱
斜棱柱
侧面
底面
侧面
底面
矩形
多边形
一些平行四边形
多边形
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
（3）棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
底面
棱锥的侧面展开图是多个三角形；
底面是多边形
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
（4）正棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱锥的侧面展开图
侧面展开图是全等的三角形
棱锥的表面积
正棱锥
非正棱锥
侧面
底面
侧面
底面
全等三角形
正多边形
三角形
多边形
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
（5）正棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图是多个等腰梯形
棱台的表面积
正棱台
非正棱台
侧面
底面
侧面
底面
全等等腰梯形
正多边形（2个）
梯形
多边形（2个）
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
结论：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
B
C
A
P
所以：
解：因为 是正三角形，其边长为a，
因此，四面体P-ABC 的表面积
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
例2　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
解：如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
变式　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为6cm和12cm，侧棱长为 5cm，求此正三棱台的表面积.
解：如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形BDD1B1为直角梯形，
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
三角形、矩形、梯形各面面积之和
展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
空间图形表面积
平面展开图面积
转化思想
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棱柱、棱锥、棱台的体积
我们已经知道正方体、长方体的体积的公式，它们是：
或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高)
或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高)
(a,b,c分别为长方体长、宽、高)
V长方体=abc
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棱柱、棱锥、棱台的体积
探究二：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？
高度、书中每页纸面积和顺序不变
体积不变
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棱柱、棱锥、棱台的体积
课本第121-123页
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棱柱、棱锥、棱台的体积
如果两个棱柱的底面积相等、高也相等，那么这两个棱柱的体积也相等．
h
h
S
S
其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
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棱柱、棱锥、棱台的体积
问题二：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
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棱柱、棱锥、棱台的体积
如果棱锥与棱柱的底面积相等、高也相等，那么这个棱锥的体积是棱柱体积的三分之一．
h
h
S
S
问题三：已知棱台上、下底面和高，如何计算棱台的体积？
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棱柱、棱锥、棱台的体积
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棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的___
棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的___
棱台 V棱台＝ (S′＋ ＋S)h S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的____
底面积
高
知识梳理
底面积
高
上、下底面面积
高
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棱柱、棱锥、棱台的体积
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棱柱、棱锥、棱台的体积
S 、 分别为上、下底面面积，h 为台体高
S为底面面积，h为柱体高
S为底面面积，h为锥体高
例3 如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3) （计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知
V长方体ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3),
V棱锥P-ABCD= ×1×1×0.5= (m3).
所以这个漏斗的容积V= 0.67(m3).
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棱柱、棱锥、棱台的体积
例4 正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
解：　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
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棱柱、棱锥、棱台的体积
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的
体积为____.
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课堂练习
各面面积之和
展开图
棱柱、棱锥、棱台
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、
棱台的体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
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课堂小结