8.3简单几何体的表面积与体积（3）(共18张PPT)

(共18张PPT)
简单几何体的表面积与体积（第三课时）
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（二）
圆柱
圆锥
圆台
l
O
O'
2πr
r


h
2πr
O
S
l
r

h
O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


h
1
复习巩固
2
球的表面积
球的表面积公式：
球体的半径为R,则其表面积为
2
球的表面积
例1：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
解：一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
分析：一个浮标的表面积=两个半球面+一个圆柱的侧面积
3
球的体积
问题1：类比这种方法,你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗
把一个半径为R 的圆平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。拼成的长方形的面积和原来圆的面积相等，这个长方形的长是，宽是
圆的面积公式推导：
思考： 在小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗
3
球的体积
类比利用圆周长求圆面积方法, 我们可利用球的表面积求球的体积.
如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”.
O
A
B
C
D
当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为
由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积就是这个球的表面积. 因此，球的体积为
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2.球的体积公式V＝ .
4πR2
知识梳理
3
球的体积
3
球的体积
课本119页
例2：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
O
R
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
4
球的截面问题
1.用一个平面去截球，截面一定是圆面.
2.截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小圆。
3.若小圆的圆心为，半径为，球的球心为，半径为，则
⊥圆面
问题2 用一个平面去截球，截面是什么图形？
5
与球有关的内切、外接问题
例3：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm,求球的体积。
解析　设该正方体的外接球半径为R，
正方体的体对角线长即为外接球直径，
课本120页 习题8.3 第5题
寻求轴截面圆半径法
变式1：一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是2 cm、 cm、 cm,求球的表面积。
课本120页 习题8.3 第5题
∴S球＝4πR2＝12π.
长方体外接球的直径=长方体的体对角线
5
与球有关的内切、外接问题
解:　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
设其外接球的半径为R，
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
补形法
5
与球有关的内切、外接问题
例4（1）：将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.
课本119页 练习第3题
分析：要使得零件体积最大，即这个正方体里能够放置的球的体积最大，即此正方体的内切球.
中截面
解：设内切球的半径为R，则2R=6
正方体的内切球的直径=正方体的棱长
可能制作的最大零件的体积为
5
与球有关的内切、外接问题
例4（2）：若一球与正方体的所有棱都相切，求正方体的棱长与球的半径之比。
过正方体对角面截组合体
解：设正方体的棱长是a，
设棱切球的半径为R，则2R=a
正方体的棱切球的直径=正方体的面对角线的长
5
与球有关的内切、外接问题
已知正方体的棱长为，
图①
图②
图③
（1）如图①，正方体内切球的直径为
（2）如图②，正方体棱切球的直径为
（3）如图③，正方体外接球的直径为
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与球有关的内切、外接问题
　练习1：在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
解　作正方体对角面的截面，如图所示，
在Rt△ 中，由勾股定理，得 ，
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与球有关的内切、外接问题
解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，
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与球有关的内切、外接问题
确定球心位置法
6
课堂小结
1.知识清单：
球的表面积和体积公式；
2.思想方法：
（1）由球的表面积公式推导球的体积公式的极限思想方法；
（2）解决简单几何体的外接球、内切球问题的方法：
寻求轴截面圆半径法、构造（补形）法、确定球心位置法等。