课 题：18.1.1勾股定理（1）
教材：（人教版）义务教育课程标准实验教科书 数学八年级（下）
授课教师： 北京第六十五中学 宫颖
教 师
宫颖
年 级
初二
授课
时间
科 目
数学
班 级
初二（1）班
课 题
18.1.1勾股定理（1）
教学
目标
1．理解勾股定理的两种证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形三边计算问题；
2．通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索过程，发展合情推理，体会数形结合的思想；
3．在勾股定理的探索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学习的信心.
教学重点
探究并理解勾股定理．
教学难点
探索勾股定理的验证方法.
教学方法
启发式与探究式相结合.
教学手段
多媒体投影、计算机辅助教学，自制教具实验辅助.
教学过程设计
教师活动
学生活动
设计意图
旧知新问，引出新课
提问：你们对直角三角形都有哪些了解？
预案：
学生易答：直角三角形中有一个直角，两个锐角互余；三角形两边之和大于第三边等.预设问题：直角三角形的三边长之间满足怎样的等量关系呢？为什么？你能直接从图形中看出来吗？
从而引出今天我们将共同探讨问题——直角三角形三边的数量关系.
猜想探索，形成方法
在2500年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯就已经对此问题有了明确的结论并给与了证明，相传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的，现在就让我们一同回到2500年前，体验一下毕达哥拉斯的经历：
【活动1】：“地砖里的秘密？”
地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么“秘密”呢？
（图1）
预设问题：
问题1：地砖是由全等的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？
问题2：如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？
问题3：等腰直角三角形满足上述关系，那么一般直角三角形呢？
【发现】：
【活动2】：“勾三，股四，弦几何？”
鼓励学生利用毕达哥拉斯的面积方法在图2的网格图中尝试探索 “勾三股四的直角三角形的弦长”．
已知：Rt
求AB的长．
（图2）
预设问题：
正方形P、Q的面积为什么易求？
正方形R的面积不易求的原因是什么？
怎样将正方形R的面积转化为几个“格点图形”的面积和或差来计算呢？
预案：
由此发现直角边长为3和4的直角三角形的三边具有怎样的关系？
预案：
已知：Rt
求AB的长．
【板书】
猜想:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
【活动3】我们一起来验证！
已知：Rt
求证：
预案1：
可代表边长为的正方形的面积，那么就存在一个边长为的正方形，需要四条长为的线段，即四个与全等的直角三角形，用这样的四个三角形能拼成边长为的正方形吗？应用代数方法能否证明？试动手拼一拼，证一证.
证法1：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形
∵.
∴.
证法2：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形
∵.
∴.
预案2：
沿用面积法的思路：可代表边长为的正方形的面积；可代表边长为的正方形的面积；可代表边长为的正方形的面积；要证明，则需证明边长为的正方形和边长为的正方形通过“割补拼接”后得到边长为的正方形，请尝试实验验证.
方法如图所示：
【历史介绍】
预案1中的方法1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的方法，人们称之为“赵爽弦图”，2002年北京召开的国际数学家大会就将“赵爽弦图”定为会标； 预案2中的方法是我国古代的刘徽在他的《九章算术》中应用面积“出入相补”的原理给出的“青朱出入图”法. 公元1世纪中国一部天文学著作《周髀算经》中记载的商高和周公的对话：周公问商高“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.”
【阶段小结】
以上的两种方法都不约而同地通过割补拼接的方法把直角三角形三边关系问题转化为正方形面积问题得以解决的。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变.这种原理在以后的数学学习中也会应用到.
归纳总结，描述定理
【文字语言】
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 ．
【符号语言】
Rt
∵
∴
【图形语言】
巩固练习，适当拓展
例 如图，要借助一架云梯登上24米高的建筑物顶部，为了安全需要，需使梯子底端离墙7m.这个梯子至少有多长？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4米吗？为什么？
自我检测：
（基础题）在下列图形中标出直角三角形中未知边的长度：
（提高题）
选择：
（1）"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1,则小正方形（阴影区域）的面积与大正方形的面积比为( )
A． B． C． D．
（2）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
课堂小结，布置作业
小结提示：
（1）勾股定理的使用条件是什么？
（2）直角三角形三边有什么样的数量关系？
（3）勾股定理的探索和应用过程中你用到了哪些数学方法？领悟到了什么样的数学思想？
作业布置：
（基础必做题）
1.求出下列直角三角形中未知边的长度：
2.课本习题18.1第11题；
（提高选作题）
收集勾股定理证明方法的资料，以小报或PPT的形式与同学们交流.
学生交流对直角三角形中的角、边关系的认识.
【活动1】
在三个问题的引领下，学生逐渐发现三个正方形面积间的关系，转化为等腰直角三角形的三边关系，进而提出一般直角三角形三边关系的猜想.
【活动2】
学生小组合作，在网格纸上画图探究正方形R的面积，小组代表交流方法．
【活动3】
学生动手操作，在感受图形变化的同时，用“数”描述图形的面积，进而数形结合地得出直角三角形的三边关系.小组代表在黑板上用模具展示拼图结果，师生共同应用代数法转化等式，证明猜想.
学生归纳总结直角三角形三边关系，结合图形语言，从文字语言和符号语言两方面描述勾股定理.
学生分析已知条件，确定直角位置及已知边的位置，尝试应用勾股定理在直角三角形已知两边时求第三边.
学生独立完成自我检测题，并交流解题方法.
学生在三个问题的引领下回顾并归纳本节课的知识技能、思想方法、情感体验.
学生课后完成作业，其中的提高选作题可预留一周时间完成.
激发学生探索勾股定理的兴趣.
通过【活动1】对地砖中图形的探索培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将面积关系转化为等腰直角三角形三边长之间的数量关系，让学生体验“面积法”在几何证明中的作用，为探索一般直角三角形三边关系提供了方法线索．
【活动2】对“勾三， 股四，弦五”这种较一般的直角三角形的三边关系进行探究，让学生进一步体验毕达哥拉斯的面积法，也再次为猜想提供有力证据；不仅如此，正方形R面积的计算方法已经体现“割”和“补”的思想，这为下一步应用面积证法进行一般化证明做好铺垫．
【活动3】通过使用直角三角形模具完成拼图过程，让学生体会应用图形“割补拼接”面积不变的特点来验证直角三角形三边数量关系的猜想，培养学生由数到形再由形到数的数学思想以及转化的能力．在实验拼图探究的过程中发展学生的空间想象力和合情推理能力.
教师把握时机向学生讲述勾股定理的探索历史，使学生感受数学证明的灵活与精巧，体会勾股定理中蕴含的历史和文化，学生在发现自己的方法与古代数学家的想法不期而遇时，自豪感和自信心油然而生．
通过以上三个活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越．
让学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面对勾股定理进行描述，培养学生数学语言的表达能力．
本例是勾股定理在实际生活中的应用，通过条件的变化体会在直角三角形中已知两边可求第三边．
基础题是对勾股定理的简单应用，帮助学生巩固基础.
提高题是对“赵爽弦图”以及毕达哥拉斯面积方法的应用.
通过以上问题的练习，学生对勾股定理证明方法的应用以及定理本身的应用都有了较深刻的认识，从而实现了从理解知识到初步运用知识的提升．
为了有效地对学生的学习情况进行反馈，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我对作业设计进行分层布置，分为基础必做题和提高选作题.
课 题：18.1.1勾股定理（1）教案说明
教材：（人教版）义务教育课程标准实验教科书 数学八年级（下）
授课教师： 北京第六十五中学 宫颖
一、教学内容的分析
1、教材的地位和作用
勾股定理是人们利用图形的拼接，探讨图形面积之间的关系得到的一种规律．历史上，数学家和数学爱好者经过不懈努力，探索出了许多证明方法，本节课采用的是“面积法”证明勾股定理，这为今后证明一些几何问题奠定方法基础．
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它揭示了直角三角形中三边的数量关系，是解直角三角形的主要依据，它还是一般三角形余弦定理和平面解析几何中的两点间距离公式等知识的必要基础，充分体现数学知识承前启后的紧密相关性和连续性．勾股定理不仅促进了数学的发展，而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用．
2、教学的重点和难点
根据教材特点和《数学课程标准》对本课的教学要求，本节课的教学重点是探究并理解勾股定理．教学难点是探索勾股定理的验证方法．
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、《数学课程标准》对本节课的教学要求以及我校学生的特点，我从以下三个方面确定了教学目标：
1． 理解勾股定理的两种证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形三边计算问题；
2． 通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索过程，发展合情推理，体会数形结合的思想；
3．在勾股定理的探索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学习的信心.
三、教学问题诊断
对于直角三角形，学生对角的关系已有学习，但对于边的数量关系了解不多．新课标要求学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题．教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，因此需要由浅入深地设置问题，先从等腰直角三角形入手，容易发现规律，再从特殊到一般，探究一般直角三角形是否满足规律．
勾股定理的证明方法很多，本节课采用的是面积证法．由于前面没有系统学习面积证法，这种证明方法学生感到很陌生，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到．为了帮助学生分散难点，首先，应向学生说明，图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会改变；其次，教师提出问题，让学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手操作，通过拼图活动，降低难点，调动学生思维的积极性，建立初步的空间观念，发展形象思维，为学生提供从事数学活动的机会，使学生直观感受知识的形成过程，对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．
四、教学方法的选择
1、教学方法
根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发引导与学生操作探究相结合的教学方法．教学过程中，根据教材提供的线索，创设适当的教学情境，使学生经历由特殊的等腰直角三角形提出猜想，用“勾三股四”的直角三角形去验证猜想，然后将问题一般化再证明直角三角形三边关系，归纳勾股定理，在这一过程中，教师为学生探索问题准备实验学具，引导学生独立思考、小组合作、深入探究，从而初步理解勾股定理，体会其中蕴含的数学文化内涵以及数形结合思想，获得能力的提高．在总结命题之后，引导学生从例题中体会归纳应用勾股定理需要注意的条件，为今后合理灵活使用勾股定理奠定坚实的基础．
2、教学手段
教学中使用多媒体投影、计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形式多样的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的认识，激发学生的学习兴趣．
学生还将使用教师准备的自制学具（四个全等的直角三角形）进行实验探究，并在得出结论后在黑板上用学具演示，让学生亲身感受图形的变化，帮助学生提高认识．
3、教学过程的设计
为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个阶段:旧知新问，引出新课；猜想探索，形成方法；归纳总结，描述定理；巩固练习，适当拓展；课堂小结，布置作业.具体过程见教案．
4、预期效果
通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变教师知识的传授者身份为学生自主探究知识的引导者、指导者、合作者．通过证明勾股定理，体验数学证明的灵活、精巧、优美．能够掌握勾股定理及其基本应用，即在直角三角形中已知两边求第三边的方法．通过勾股定理的背景知识，使学生感受勾股定理的丰富文化内涵，发现它的实际用途和美学价值，通过介绍我国古代学者在勾股定理研究方面的卓越成就，感受我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，培养同学们的民族自豪感和爱国情怀．
