数学北师大版（2019）必修第二册 5.1..1复数的概念 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
5.1.1 复数的概念
课标阐释
1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.(数学抽象)
2.理解复数的有关概念及其代数形式.(数学抽象)
3.掌握复数相等的充要条件及其应用.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
数的概念是不断发展的.由于计数的需求产生了自然数;为了使方程x+4=0有解,引入了负数;为了使方程3x-2=0有解,引入了分数;为了使方程x2=2有解,引入了无理数,数系扩充到了实数集;引进无理数以后,我们已经能使方程x2=a(a>0)永远有解,但是当a<0时,方程x2=a(a<0)在实数范围内无解,为了使方程x2=a(a<0)有解,就必须把实数概念进一步扩大,至此引入了复数.这一节我们就学习一下复数的概念.
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知识点拨
一、复数的概念
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z.
对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数.
名师点析1.因为i2=-1,所以虚数单位i实质是-1的一个平方根,当然i也可看做是方程x2=-1的一个根.
2.对于复数z=a+bi(a,b∈R),注意其虚部是b,而不是bi.
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知识点拨
微思考1
两个复数一定能比较大小吗
提示不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.
微思考2
复数a+bi的实部是a,虚部是b吗
提示不是,对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.
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知识点拨
二、复数的分类
根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:
全体复数构成的集合称为复数集,记作C,显然R C.
名师点析1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有b∈R,且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数.
2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(b∈R,且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).
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知识点拨
3.复数分类的集合表示如右图所示.
4.正整数集N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C的关系为N+ N Z Q R C.
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知识点拨
微练习1
若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(　　)
A.-1　　　　 B.0
C.1 D.-1或1
答案A
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知识点拨
答案A
激趣诱思
知识点拨
三、复数相等的充要条件
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
名师点析两个复数不一定能比较大小
1.若两个复数全是实数,则可以比较大小;反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数.
2.当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等.
3.根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
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知识点拨
微练习
若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是(　　)
A.1,1　　　　 B.-1,1
C.1,0 D.1,-1
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
对复数相关概念的理解
例1(多选)下列命题中,错误的是(　　)
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a∈R,且a≠0,则(a+3)i是纯虚数
解析A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.
D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.
答案ABD
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 判断复数概念方面的命题真假的注意点
1.正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;
2.注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
3.注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1下列命题中,正确的是(　　)
A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a>b,则a+i>b+i
解析由复数的定义知A正确;当a∈R,且b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C错误;a+i与b+i不能比较大小,故D错误.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
复数分类及其应用
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 利用复数的分类求参数的方法及注意事项
1.利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
2.要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
3.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0,且b≠0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,
(1)z为实数 (2)z为虚数 (3)z为纯虚数
探究一
探究二
探究三
当堂检测
复数相等的充要条件及其应用
例3已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,则实数m的值为　　　　,方程的实根x为　　　　.
解析设x=a是原方程的实根,
则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,由于a,m∈R,由复数相等的充要条件,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若将本例中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.下列命题中:
①若a∈R,则ai为纯虚数;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③两个虚数不能比较大小;
④x+yi的实部、虚部分别为x,y.
其中正确命题的序号是　　　　　.
解析①当a=0时,0i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;④x+yi中未标注x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y,④不正确.
答案③
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,如果z是纯虚数,求m的值.