沪科版数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式 教案

《平方差公式》
教学设计
一、教学目标
（1）知识与能力：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。
（2）过程与方法：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。
（3）情感、态度与价值观：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。
二、教学重点与难点
重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。
难点：①理解公式中字母的含义，即公式：中的字母可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的.②平方差公式的变式应用。
三、教学过程：
（一）复习旧识，换起回忆
1. 什么是完全平方公式？（学生回答）
2.计算：（1） .
（2） .
（二）创设情境，引出新知
在《我是小神童》的智力抢答中，主持人提供了两道题：
（1）
（2）
主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说：“第一题等于396，第二题等于9999”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道是如何计算的吗？
【设计意图】通过设置问题，提起学生的学习兴趣。
（三）探索新知，尝试发现
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（屏幕显示）
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
师生活动：学生计算，四位同学在黑板上板书，师生共同分析结果。
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出平方差公式。
问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：（屏幕显示）
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们右边的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
④你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出： ，由学生运用多项式乘法计算，验证了其公式的正确性。
【设计意图】在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然合理。让学生经历具体——抽象的过程。即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：“具体——抽象”。
（四）数形结合，几何说理
问题3：你能用一个几何图形验证你的结论吗？
活动探究：在边长为的正方形上剪下一个边长为的正方形。剪下宽为b的长方形条②，放在图中①处拼成一个长方形，你能用等式表示剪拼前后的图形的面积关系吗？（屏幕显示）
=
师生活动：小组合作，教师巡视指导，代表发言。
【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,让学生认识平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题，再次验证了平方差公式的正确性。
（五）归纳总结，发现新知
问题4：前面探究所得的式子 ，称为平方差公式，你能用文字语言表述它吗？（屏幕显示）
师生活动：学生回答，相互补充。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，发展学生的数学语言表达能力加深对公式结构特征的理解。
（六）剖析公式，发现本质
问题5：在平方差公式中，认真观察其结构特征，你能用自己的语言表述吗？（屏幕显示）
师生活动：同桌讨论后回答，相互补充并总结如下：
左边是两个二项式相乘，其中“与”是相同项，“与”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即。
师追问：以上三个算式中，哪些数或式子相当于公式中的。
师生活动：独自思考，代表发言。
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。
（七）巩固运用，内化新知
例1：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（屏幕显示）
（1） （2）
（3） （4）
师生活动：分组讨论，代表发言，大家评判。
【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件。巩固平方差公式，进一步体会字母可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。
例2：运用平方差公式计算：（屏幕显示）
（1）； （2） （3）
师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生自己解答（2）（3）。在解答（1）的过程中，教师引导学生哪一个数或式相当于公式中的，然后按照公式写出平方差，再计算出结果；在解答（2）（3）的过程中，同样注意上述问题，并提议用不同方法解答，以体现学生的创造性。
分析：在（1）中，可以把看成，看成，即
=
解：(1) (2) (3)
【设计意图】让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式表示公式中的, 哪个数或式表示公式中的，并运用公式进行计算。
例3：解决本节课开始提出的问题。
解：（1） （2）
【设计意图】让学生熟悉平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，使学生将平方差公式的知识迁移新的问题情境中，既巩固新知，有培养学生分析和解决问题的能力。此题体现了转化思想和数学通行。
三、畅所欲言，课时小结
这节课，你有什么收获吗？
师生活动：学生回答，相互补充。
【设计意图】从通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。
板书设计
平方差公式
五、布置作业 （屏幕显示）
1.书：71页第二题
2.练习册：对应练习
【设计意图】作业1目的是巩固所学知识，作业2主要培养学生良好的自学学习习惯为目的。
六、教学反思：
1.引导学生亲自经历“观察——比较——抽象——概括——推理”这一知识的形成过程，得出了平方差公式，尝到了成功的喜悦，从中体会研究数学问题的基本方法“具体——抽象”。
2、结合本节课的教学内容，选择由浅入深的典型例题，进行知识内化，培养能力。
3、学生主体观体现较好。鼓励每一个学生动手、动口、动脑，并参与到学习当中。给学生提供了“主动参与、自主探究、合作交流”的空间。让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，充分发挥了学生的主体作用，培养了学生自我学习，合作探究的能力。
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