鲁教版七年级下册专项训练 专项训练 三角形的有关证明（含答案）

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专项训练
三角形的有关证明
基础练习
1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC.按下面的步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是( )
A.∠BDN=∠CDN B.∠ADC=2∠B C.∠ACD=∠DCB D.2∠B+∠ACD=90°
第1题图 第2题图
2.如图，点C，D分别在OA，OB上，AD，BC交于点E，OA=OB，OC=OD，有下列结论：①∠A=∠B；②DE=CE；③连接OE，则OE平分∠AOB.其中，正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AC=12cm，则AD的长为( )
A.4cm B.8cm C.6cm D.无法确定
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为( )
A.75° B.80° C.70° D.85°
5.如图，BD是等边三角形ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，线段BC的垂直平分线交BD于点P，垂足为F.若PF=2，则DE的长为( )
A.2 B. C.3 D.4
6.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD.若AB=1，则AD的长为___________.
第6题图 第7题图
7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是_________.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE，则BE的长为＿____＿＿.
第8题图 第9题图
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.若BF=2，则BC的长为__________.
10.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.如果是假命题，那么请举出反例.
(1)等边三角形是锐角三角形；
(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
(3)如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.
11.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数.
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.
巩固提高
12.有下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②如果a=0，那么ab=0；③四边形是多边形.其中，原命题和逆命题均为真命题的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于点E，AD-BE于点D.有下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD.其中，正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第13题图 第14题图
14.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是( )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
15.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，BC上的动点，且总使BD=CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G.有下列结论：①△ACE≌△CBD；②∠AFG=60°；③AF=2FG；④AC=2CE.其中，正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
第15题图 第17题图
16.若用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，则应先假设_____________________________________________________.
17.如图，∠ADC=∠DCF=120°，AD=DC=2CF.若AE=24，则CE的长为_________.
18.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点B运动，当点D运动到AC的垂直平分线上时，运动时间为_______ s.
第18题图 第19题图
19.如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G.有下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC.其中，正确的有_____________（填序号）.
20.线段m，n如图所示.求作：等腰三角形ABC，使其两腰AB=AC=m，底边BC=n(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
21.如图①，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.
(1)求证：
(2)如图②，过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F，请确定线段AE，AF，DF之间的数量关系，并证明你的结论.
22.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD.
(1)求证：
(2)若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若AF=BF，求∠EBA的度数.
参考答案
[基础练习]
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6. 7.3 8. 9.6
10.(1)锐角三角形是等边三角形 假命题 举出反例略
(2)如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真命题
(3)如果一个三角形的两个内角所对的边相等，那么这两个内角相等 真命题
11.(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°.又∵∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
(2)由(1)，可知∠BAD=∠CAD.∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD.∴∠BAD=∠F.∴AE=FE
[巩固提高]
12.A 13.D 14.B 15.B 16.在直角三角形中，每一个锐角都大于45°
17.8 解析：过点D作DH⊥AC于点H.由等腰三角形的性质，得AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°.由直角三角形的性质，可证DH=CF.由“AAS”，可证△DHE≌△FCE，可得EH=EC.由AE=24，得EH=EC=8.
18. 19.①②③④
20.△ABC如图所示
21.(1)如图①，连接BD.∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中， △ACE≌△BCD.∴AE=BD，∠CDB=∠E=45°.又∵∠CDE=45°，∴∠ADB=∠CDE+∠CDB=90°.在Rt△ADB中，由勾股定理，得同理，在Rt△ACB中，又∵AC=BC，BD=AE，∴
如图②，连接BD，BF.由(1)，可知AE=DB，∠FDB=90°，∴CF⊥AB，CA=CB，∴AO=BO.∴CF为AB的垂直平分线.∴AF=BF.在Rt△BDF中，由勾股定理，得∴
22.(1)∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，∴∠ABD= 又∵又∵
(2)△ABD为等腰三角形 过点D作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于点H.∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA， ∴DM=DH，DN=DH.∴DM=DN.∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD.∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+△ACB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠GAD=∠ABC.∴AD∥BC.∴∠ADB=∠DBC.又∵∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.∴△ABD为等腰三角形
(3)∵AF=BF，∴∠BAF=C.∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC=72°，即∠EBA=72°
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