4.1数列的概念 课件——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第二册(共27张PPT)

(共27张PPT)
4.1 数列的概念
情景导入
问题1：观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？
1，1，2，3，5，8，____，____，···
1
2
3
5
8
概念形成
王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记王芳第i岁时的身高为hi
h1=75
，h2＝87
，h3＝96
，…，h17＝168．
不能交换位置．
具有确定顺序.
2. 在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第i天月亮可见部分的数为si
s1=5
，s2＝10
，s3＝20
，…，s15＝240．
不能交换位置．
具有确定顺序.
概念形成
3. 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？
概念形成
上述例子的共同特征是什么？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
概念形成
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
③
一列数
顺序
概念形成
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
追问（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
追问（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
概念形成
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
③
数列的一般形式是
简记为
首项
第二项
第n项
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
概念辨析
数列中的各项ak与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
序号
项
正整数集
实数集
（或它的有限子集 ）
概念辨析
表4.1-1
图4.1-1
思 考
从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
自变量为离散的数的函数
概念辨析
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如：1，1，1，1，1，···.
数列的单调性：
概念辨析
③
如果数列 的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）
（2）
n 1 2 3 4 5
an
1 3 6 10 15
n 1 2 3 4 5
an 1 0 -1 0 1
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
例3 如果数列 的通项公式为 ，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
令
解这个关于n的方程，得
所以，120是这个数列的项，是第10项．
解
（舍去），或
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
1
3
9
27
这个数列的一个通项公式是
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
1
3
9
27
×3
×3
×3
a1=1
a2=3a1
a3=3a2
a4=3a3
（n≥2）
n≥2.
n = 1,
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
概念形成
递推公式
通项公式
项与序号之间的关系
相邻两项之间的关系
（n≥2）
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
n≥2.
n = 1,
1，3，9，27，···
例5 已知数列 的首项为 ，递推公式为 ，写出这个数列的前5项．
令n=2
令n=3
令n=4
令n=5
解
概念形成
我们把数列 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn ，即
如果数列 的前n项和 Sn 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．
概念辨析
追问（3）：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
=
当n≥2时，
当n = 1时，
n≥2.
n = 1,
思 考
已知数列 的前n项和公式为 ，你能求出 的通项公式吗？
当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
当n = 1时，
当n≥2时，
综上所述， 的通项公式是 .
课堂小结
现实生活、数学史、数学
按照确定的顺序排列的一列数
表格、图象、通项公式
本质：函数
递增数列、递减数列、常数列
回顾本节课我们研究数列的基本路径:
课堂小结
回顾本节课所学的知识，思考：
（1）什么是数列？数列的本质是什么？
（2）什么是递推公式？
（3）什么是前n项和公式？由前n项和公式得到通项公式的一般方法？
课后作业P5
2. 根据数列的通项公式填表：
4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
课后作业P8
3. 已知数列 满足 ， ，写出它的前5项，并猜想它的通项
公式.
4. 已知数列 的前n项和公式为 ，求 的通项公式.
拓展反思
（1）为什么例2中只要求写出数列的“一个”通项公式？
（2）你能写出前四项为0，2，0，2的数列的其它通项公式吗？
（3）你认为每个数列都有通项公式吗？