八年级数学下册二次根式学案

§7.1 二次根式性质（第1课时）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
目标感知：
1、经历二次根式意义和性质的探索，掌握二次根式的概念，及性质．
2、灵活运用二次根式的意义及性质．
重点预设：二次根式的概念，及性质．
难点预设：灵活运用二次根式的意义及性质．
知识链接：1、4的算术平方根是 ，平方根是 ．
2、表示什么？a应满足什么条件？
提示：（1）当a是正数时，表示 ．
（2）当a是零时，表示 ．
（3）当a是负数时，表示 ．
∴a应满足 ．
3、当x 时，式子有意义．
4、要使有意义，字母x的值必须满足的条件（ ）
A、x≥1 B、x≤1 C、x>1 D、x<1
5、= ．
问题导学：问题1．自学概念与性质
（自学课本P4—P5页，回答下面问题）
（1） 叫做二次根式，其中a为 ，a叫做 ，举例如： ．
（2）二次根式在 时有意义，在 时无意义．
（3）二次根式的性质：①具有 性．②= （a≥0）．
问题2．合作交流：（先自己独立完成，不会的小组内成员之间交流）
1、下列式子中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）a2 （7） （8）
2、在二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A、a<1 B、a≤1 C、a≥1 D、a>1
3、如果是二次根式，那么a,b应满足（ ）
A、a>0,b>0 B、a,b同号 C、a>0,b≥0 D、
4、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A、x≥-2 B、
C、x≥-2且 D、以上答案都不对
5、= ，=
6、= ，=
7、=
8、2=( )2 3=( )2
7=( )2 =( )2
∴a=( )2 (a≥0)
9、已知a,b是实数，且有，则a= ，b= ．
10、若有意义，那么直角坐标系中点A（a,b）的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题3．精讲点拨：
例1、如果代数式有意义，那么直角坐标系中点P(m,n)的位置在第
象限。
例2、已知x,y为实数，且，则x-y= ．
例3、若是二次根式，那么x应满足的条件是 ．
例4、已知，求(xy-64)2的算术平方根．
问题4．巩固检测：
1、当堂检测：
（1）下列语句正确的是（ ）
A、二次根式中的被开方数只能是正数 B、式子是二次根式
C、3的平方根是 D、2是的平方
（2）当x 时，式子是二次根式。
（3）= ，= 。
（4）把写成一个正数的平方的形式是 。
（5）在下列各式，，，，，中一定是二次根式的个数有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
知识梳理：
问题训练：[课后提升]
A组、1．判断下列各式，是否为二次根式
（1）（ ） （2）（ ） （3）（ ）
（4）（ ） （5）（ ）
（6）（ ） （7）（ ） （8）（ ）
（9）（ ）
2、如果式子有意义，则x ．
3、若|x-3|+(x-y+1)2=0，则= ．
4、= ，= ，= ，= 。
B组、1．下列各式中，是二次根式的为（ ）
A、π B、 C、 D、
2、代数式有意义，则x应满足 ．
3、二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
4、，则m+n= ．
5、若，则yx= ．
6、= ，= ，= ．
C组、1、能使二次根式有意义的实数x的值有（ ）个
A、0 B、1 C、2 D、无数个
2、，则xy的值等于（ ）
A、-6 B、-2 C、2 D、6
3、当x= 时，有最小值．
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　§7.1 二次根式性质（第2课时）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
目标感知：
1、理解二次根式的性质，能运用这个性质化简二次根式．
2、知道公式与的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用．
3、理解积的算术平方根的意义，会用公式化简二次根式．
重点预设：理解二次根式的性质，理解积的算术平方根的意义，会用公式化简二次根式．
难点预设：公式与的区别
知识链接：1、二次根式的性质：
（1）具有 性。
（2）= （a≥0）
2、当x 时，式子有意义．
3、= ，= ，= ．
4、5=( )2，=( )2，1.2=( )2
5、已知，则代数式a2-1的值为 ．
6、|a-5|+|b+4|=0，则(a+b)2010= ．
7、要使有意义，则x ．
8、当a≥0时，a2的算术平方根= ．
问题导学：问题1．自主学习：
1、自学课本P5-P7页，并完成课后练习．
2、思考：等于多少？
这里a的取值有没有限制？取a的一些值，分别计算的值，从中你能发现什么？
概括：
当a≥0时= ，当a<0时= ．
∴二次根式的性质是
计算：①；②当x>2时。
积的算术平方根的性质：
3、= （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于 。
问题2．二、合作探究：
1、化简：
（1） （2）
（3） （4）
2、下列计算正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、对于任意实数x，下列各式中一定成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、化简
= ，= ，= 。
5、成立的条件是 。
6、计算：
（1） （2） （3） （4）
7、化简：
（1） （2） （3） （4）
问题3．精讲点拨：
例1、小海与小兰解答题目，先化简，再求值：
，其中a=-1时，得出不同答案，小海的解答是：
原式=
小兰的解答是：原式=
（1） 的解法是错误的。
（2）错误的解法在于未能正确地运用二次根式的性质 。
例2、若，求x的取值范围。
例3、若等式成立，试化简：
问题4．巩固检测：
巩固检测：
1、当堂检测：
（1）= ，= 。
（2）= ，= 。
（3）当x>2时，化简= 。
（4）已知a<0，那么= 。
知识梳理：
问题训练：[课后提升]
A组
1、= ，= （x≥0，y≥0）
= （b≥0），= （x≥0）
2、当m<3时= 。
B组
1、= 。
2、在实数范围内，的值为（ ）
A、无法确定 B、3 C、2 D、原式无意义
C组
1、把二次根式根号外面的因式移到根号内为 。
2、化简= 。
3、若化简的结果为2x-5，则x 。
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
§7.1 二次根式性质（第3课时）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
目标感知：
1、了解最简二次根式的概念，会把不是最简二次根式的式子化成最简二次根式。
2、理解商的算术平方根的性质，并能运用于二次根式的化简和计算中。
重点预设：最简二次根式的概念，会把不是最简二次根式的式子化成最简二次根式；理解商的算术平方根的性质并能运用于二次根式的化简和计算中。
难点预设：二次根式的化简和计算中。
知识链接：1、形如 的式子，叫做二次根式。
2、（1）二次根式具有非负性，即 。
（2）= ，条件是 。
（3）= = 条件是a为 。

（4）= ，条件为 ，= 。
3、二次根式有意义的条件是 。
4、若，则yx值为 。
5、= ，= 。
6、化简（1）= 。（2）= 。
（3）= 。（4）= 。
7、= ，= 。
8、在中，x的取值范围是 。
9、化简：= 。
问题导学：问题1：自主学习：
自学课本P7-P9页，并完成课后练习。
2、商的算术平方根的性质：
= （a≥0，b≥0）
即商的算术平方根等于 。
3、最简二次根式的条件为：
（1）被开方式中不含 。
（2）被开方式中不含 的因数或因式。
问题2合作探究：
1、化简：（1）=
（2）= （3）=
（4）= （5）=
2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列各式中，化简正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、化简根式的结果是 。
5、= = =
= = =
6、= ，= 。
问题3．精讲点拨：
例1、计算：
（1） （2） （3）
例2、把下列各式化成最简二次根式。
（1） （2）
例3、已知是相等的最简二次根式，求a,b的值。
问题4．巩固检测：
1、当堂检测：
（1）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）化简：= ，= 。
（3）已知xy<0，则化简后是 。
知识梳理：
[课后提升]
A组
1、下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、= ，= 。
3、若，则a的取值范围是 。
B组
1、如果，则x的取值范围是 。
2、= 。
C组
1、= 。
2、= 。
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
§7.2 二次根式的加减法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
目标感知：
（1）理解并掌握同类二次根式的条件，能判断一组二次根式是否为同类二次根式．
（2）弄清二次根式加减法的实质，能准确地进行二次根式的加减运算．
重点预设：同类二次根式的条件，会二次根式的加减运算
难点预设：同类二次根式的条件，会二次根式的加减运算．
知识链接：1、最简二次根式的条件为：
（1）被开方式中不含 。
（2）被开方式中不含 的因数或因式。
2、化简：
问题导学：问题1：自主学习：
学习课本10页—11页完成下面问题。
1、同类二次根式的概念
几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方式 ，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、二次根式的加减
二次根式的加减实质是 同类二次根式。
3、二次根式加减法的一般步骤
（1）能化简的二次根式要先化成 。
（2）找出其中的 。
（3） 同类二次根式。
（1）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3）下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
，，，，
（4）计算：
问题2合作探究：
1、下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A、和 B、和
C、和 D、和
2、下列计算中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、计算= 。
问题3．精讲点拨：
例1、计算：
（1） （2）
例2、
问题4．巩固检测：
1、当堂检测：
（1）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A、0 B、1 C、 D、
（3）= 。
（4）
知识梳理：
[课后提升]
A组
计算：（1），（2），（3）
B组
1、下列计算中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、与是两个相等的最简二次根式，则x值为（ ）
A、-2 B、2 C、1 D、-1
3、计算（1）
（2）
C组
1、若a,b为有理数，且则a+b= 。
2、化简，求值。
，其中
3、若，，则xy= 。
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　§7.3二次根式的乘除法（1）　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
目标感知：
1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化简二次根式。
2、会根据法则进行二次根式的运算，进一步提高学生的运算能力。
重点预设：二次根式的乘除法法则
难点预设：根据法则进行二次根式的运算
知识链接：（1）积的算术平方根公式：
（2）商的算术算术平方根公式：
（3）把积的算术平方根与商的算术平方根性质公式逆向使用，你能得到怎样的两个等式：
问题导学：问题1：自主预习课本P12—P13内容，独立完成课后练习1、2、3
1、二次根式的乘法法则：
= （a≥0，b≥0）。
即两个二次根式相乘，将它们的 相乘，根指数 。
2、二次根式的除法法则：
= （a≥0，b>0）
即两个二次根式相除，把被开方数 ，根指数 。
问题2合作探究：
1、如果，那么（ ）
A、x≥0 B、x≥10
C、0≤x≤10 D、x为全体实数
2、下列各式计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列式子中不成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、等式成立的条件是（ ）
A、x≠5 B、x≥3
C、x≥3且x≠5 D、x>5
5、下列等式中成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算：
（1）= ； （2）= ；
（3）= ； （4）= ；
（5）= ； （6）= 。
问题3．精讲点拨：
例1、计算下列各题：
（1） （2）
例2、计算下列各题：
（1） （2）
问题4．巩固检测：
1、当堂检测：
1、下列计算中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列计算中，错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、如果，那么实数m的取值范围是（ ）
A、m≥6 B、m≤4
C、4≤m≤6 D、m为一切实数
4、计算下列各式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
知识梳理：
[课后提升]
A组
1、若，则x的取值范围是（ ）
A、x≥0 B、x≥3 C、0≤x≤3 D、x是一切实数
2、等式成立的条件是（ ）
A、x≥-1 B、x≥2 C、x>2 D、x≥-1且x≠2
3、计算：= 。
4、计算：= 。
5、化简：
（1）； （2）； （3）； （4）
B组
6、若，，则的值用a,b可以表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、把的根号外的因式移到根号内为 。
8、比较大小：与。
9、比较下面算式结果的大小（填“>”“<”或“=”）：
4+3 2×； ；5+5 ；……
通过观察与归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并证明你所写式子的正确性。
C组
10、已知，求x2-4x-1的值。
11、下列运算中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
12、若，，则xy的值是（ ）
A、 B、 C、m+n D、m-n
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　§7.3二次根式的乘除法（2）　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
目标感知：
1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
重点预设：二次根式的混合运算
难点预设：二次根式的混合运算
知识链接：（1）用字母表示出实数的运算律： 。
（2）用字母表示出乘法公式： 。
问题导学：问题1：（1）自主预习：课本P13-14页内容，独立完成课后练习1、2题，与小组同学交流（课前完成）．
（2）二次根式的混合运算顺序是： ．
问题2：合作探究：
1、当时，的值是 。
2、已知，则a等于（ ）
A、4 B、±2 C、2 D、±4
3、计算：
（1）；
（2）； （3）；
（4）
问题3：精讲点拨：
例1、计算下列各题：
1、计算：
（1）； （2）
例2、化简并求值：，其中。
3、已知，求的平方根。
问题4：巩固检测：
1、当堂检测：
1、的积是（ ）
A、1 B、17 C、 D、
2、已知a<0，化简二次根式的正确结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知：，，则的值是（ ）
A、大于1 B、小于1 C、等于1 D、无法确定
4、计算下列各题：
（1）； （2）。
知识梳理：
[课后提升]
A组
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若，则x-y的值为（ ）
A、-1 B、1 C、2 D、3
3、函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A、x>-2 B、x≥-2 C、x≠-2 D、x≤-2
4、当x≤0时，化简的结果是 。
5、计算：= 。
B组
6、下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、使式子成立的条件是（ ）
A、a≥5 B、a>5 C、0≤a≤5 D、0≤a<5
8、设，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a
9、的相反数是 ，倒数是 。
10、一个直角三角形的两条直角边的长分别为，，其斜边的长是 cm，三角形的面积为 cm2。
C组
11、使在实数范围内有意义的x应满足的条件是 。
12、计算：。
13、先化简，再求值：，其中。
14、化简：
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
§7.3二次根式复习　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
目标感知：
通过复习了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会识别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质。
3、了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会进行简单的二次根式的四则运算
重点预设：目标 1，2，3
难点预设： 知识的综合运用
知识链接：
问题导学：问题1：阅读课本内容 P4——19，回顾本单元主要知识，对二次根式的有关知识进行整理
1、形如 叫二次根式，其中a是 ，叫做 。
2、二次根式的性质



3、 是最简二次根式。
4、 是同类二次根式。
5、二次根式的加减运算法则 。
6、二次根式的乘法法则 。
二次根式的除法法则 。
7、二次根式的混合运算的法则 ； 。
8、 分母有理化。
问题2：合作探究：
1、在下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、代数式有定义的条件 。
3、x<0，y>0，则下列与相等的式子是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，则点P(x，y)在第 象限。
5、若，则x= ，　　6、= ．
7、若，则a= ，b ．
问题3：精讲点拨：
例1、求意义的x的取值范围
（1）求的值。
例2、（1）已知求
（3）若a-b=2+，b-c=2-，求a2+b2+c2-ab-bc-ca
（4）先化简再求值：
，其中，
，其中，
（5），其中
（6）已知，求
（7）已知，求x+y（xy为有理数）
例3、在实数范围内分解因式
（1）3x-x3 （2） （3）x4-16
例4、计算：
（1） （2）
（3） （4）
问题4：巩固检测：
1、中x的范围 。
2、若23、= 。
4、（1） （2）
5、分解因式x2y-9y x2y-4xy+4y
6、，求。
知识梳理：
[课后提升]
A组
1、下列根式中，不能与合并的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若，则a是（ ）
A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数
3、若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列等式中一定成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若a<1，化简的结果是（ ）
A、a-1 B、-a-1 C、1-a D、a+1
6、若，则x的取值范围是（ ）
A、x>5 B、x<5 C、x≥5 D、x≤5
B组
7、计算的值是（ ）
A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数
8、当x 时，是二次根式。
9、若|a-b+1|与互为相反数，则(a-b)2007= 。
10、计算或化简：
（1） （2）
C组
11、若有意义，则x的取值范围是 。
12、设，，则用含m,n的式子表示为 。
13、已知函数，则x的取值范围是 ；若x是整数，则此函数的最小值是 。
14、先化简，再求值：，其中，。
问题生成：通过你的自主学习：
1．你认为本节的重点内容是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　2．你还有哪些疑难问题？　
3．你有哪些感悟？