华师大版数学八下 19.1.1矩形的性质课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
19.1 矩 形
1 矩形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大·八年级数学下册
思考：平行四边形的角,边,对角线有哪些特性呢
A
B
C
D
O
概念:有两组对边分别平行的四边行是平行四边形.
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试
一
试
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上并轻轻推动，你会发现什么？
D
C
B
A
角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状.
平行四边形具有不稳定性，是中心对称图形
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的定义：
类比平行四边形的学习，你能否根据矩形的定义推导出矩形具有的性质呢？
注意：矩形是特殊的平行四边形.
四边形、平行四边形、矩形
两组对边分别平行
有一个角是直角
也就是说作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊的性质.
下面我们就从边、角、对角线来研究矩形具有的性质。
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质
矩形的特殊性质
观察所示的矩形，将你的发现填入下表.
A
B
D
C
O
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
矩形有几条对称轴？
在矩形ABCD，∠ABC=∠BCD＝∠CDA=∠BAD＝90°
矩形特征2: 矩形的对角线相等且互相平分．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线
∴AC＝BD，OA=OC，OB=OD
矩形有何特殊的特征
矩形特征1: 矩形的四个角都是直角.
猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明：
∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90°
又∵矩形ABCD是特殊的平行四边形
∴ ∠A=∠C，∠B = ∠D，∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD
即矩形的对角线相等
猜想2：矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
A
B
C
D
A
B
C
D
符号语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
符号语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD
归纳：矩形特有的性质：
1、如图四边形ABCD是矩形
（1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝________㎝,OB=________㎝
（2）若已知∠CAB=40°，则∠OCB= ________ ∠OBA=________∠AOB= ________∠AOD=_____.
（3）若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的
周长＝________㎝矩形的面积＝________㎝2
（4）若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，
则AC=________㎝
O
D
C
B
A
5
50°
10
100°
40°
12
48
28
80°
小试牛刀
2.矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，BC=12cm，则△ABO的周长等于 ______ .
3.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5cm，求对角线长.
解：对角线长=2×4.5=9（cm）.
小试牛刀
解 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AC= = =5.又∵S△ABC = AB·BC= AC·BE，
∴BE= .
例1 如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.
A
B
D
C
E
典例讲解
例2 如下图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm.求AC、AB的长.
典例讲解
A
B
D
C
E
O
解 ∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD=15(矩形对角线相等).
∴ AO = AC = 7.5.
∵AE垂直平分BO，∴AB=AO=7.5.
即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm.
例3、矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上
的________，BO与AC有什么关系？
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,
中线
典例讲解
结论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
当堂小结
矩形的性质
A
B
C
D
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
对角线互相平分且相等
四个角都是直角.
对角相等,邻角互补.
对称性
矩形是轴对称图形，
结论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形问题
通过对角线
转化
直角三角形或等腰三角形
1.矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的
长是多少
A
B
C
D
O
解∵AB+BC+CD+DA = 56，
（BC+BO+CO）－（AB+AO+BO）= 4，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC(平行四边形的对边相等).
AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分).
∴ AB + BC =28，BC－AB = 4，
∴ AD = BC =16，AB = CD =12．
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2.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥
AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE = CF.
证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，∴OB=OC.
又∵∠BEO=∠CFO=90°，∠EOB=∠FOC.
∴Rt△EBO≌Rt△FCO,
∴BE=CF.
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