(共23张PPT)
4.1.1 变量与函数
湘教版 八年级下
教学目标
1. 通过生活中的实例，理解变量与常量的概念；
2. 掌握函数及自变量、因变量、函数值的概念；
3. 初步了解求函数值、确定自变量的取值范围的方法；
4. 通过分析变量之间的函数关系，提高解决问题的能力.
新知导入
在自然现象和日常生活中，我们经常会遇到许多变化的量.其中有些量随着另一些量的变化而变化。例如，一棵树苗的高度随生长年数的变化而变化；汽车匀速行驶，行驶的路程随行驶时间的变化而变化；在利率相同的条件下，存款利息随本金的变化而变化。
如何研究两个变化的量之间的关系呢？我们可以借助函数来解决。
1. 如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线。它反映了该地某一天的气温T(℃)是如何随着时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？
新知讲解
看图可知，4时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃.
新知讲解
从图中曲线可以看出，某地一天中的气温随着时间的变化而变化.
10
20
1
2. 当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，...时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表：
新知讲解
边长x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积S …
1
4
9
16
25
36
49
在这个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.
1
3. 某城市居民用的天然气，1m 收费2.88元，使用x(m )天然气应缴纳的费用y(元)为 y=2.88x.当x=10时，缴纳的费用为多少？
新知讲解
在这个问题中，使用天然气缴纳的费用y随所用天然气的体积x的变化而变化.
例如，当x=10时，y= (元)；当x=20时，y= (元).
28.8
57.6
在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数).
新知讲解
在上述3个问题中，哪些是变量，哪些是常量呢？
时间t，气温T；正方形的边长x，面积S；使用天然气的体积x，应缴纳的费用y等都是变量.
每使用1m 天然气收费2.88元，2.88是常量.
新知讲解
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x的函数，记作y=f(x).此时称x是自变量，y是因变量，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作y=f(a).
新知讲解
1. 在问题1中， 是自变量， 是 的函数.
2. 在问题2中，正方形的边长是 ，面积是边长的 .
3. 在问题3中， 是自变量， 是 的函数.
自变量
函数
t
x
y
T
t
x
新知讲解
在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围.
例如，在问题1中，自变量t的取值范围是0≤t≤24；在第2个问题中，自变量x的取值范围是x＞0；第3个问题中，自变量x的取值范围是x≥0.
例1 如图，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm )是r的函数.
(1)用含r的代数式表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.
(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)
例题讲解
解 (1)根据圆柱的体积=底面积×高，得
例题讲解
圆柱的体积V=4πr ，自变量r的取值范围是r＞0.
(2)当r=5时，V=4π×25=100π(cm )；
当r=10时，V=4π×100=400π(cm ).
1. 农贸批发市场的土豆批发价为2元/kg，批发所得现金y元随土豆的质量xkg的变化而变化，在这个变化过程中，
(1)变量是 ，常量是 ；
(2)y与x的关系是 ，自变量是 ，因变量是 ， 是 的函数.
(3)自变量的取值范围是 .
巩固练习
x，y
y=2x
x
y
x≥0
2
y
x
巩固练习
D
2. (2021成华区期末)汽车以100km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ）
A. 汽车 B. 路程
C. 速度 D. 时间
巩固练习
3. (2021新城区期末)声音在空气中传播的速度简称音速，试验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y/(m/s) 331 334 337 340 343
下列结论错误的是（ ）
A. 在变化过程中，气温是自变量 ，音速是因变量
B. y随x的增大而增大
C. 当气温为30℃时，音速为350m/s
D. 温度每升高5℃，音速增加3m/s
C
课堂总结
什么叫作变量，什么叫作常量？
什么叫作函数，记作什么？什么叫作自变量，因变量？
在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x的函数，记作y=f(x).此时称x是自变量，y是因变量，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作y=f(a).
作业布置
第112页练习第1、2题：
1. 指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？
(1)一辆汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)；
(2)圆的半径r和圆面积S满足：S=πr
(3)银行的存款利率P与存期t .
作业布置
解 (1)S=80t，行驶路程S随着行驶时间t的变化而变化。
(2)S=πr ，圆的面积S随着半径r的变化而变化。
(3)银行的存款利率P随着存期t的变化而变化。
作业布置
2. 如图，A港口某天受潮汐的影响，24小时内港口水深h(m)随时间t(时)的变化而变化.
(1)水深h是时间t的函数吗？
(2)当t分别取4，10，17时，h是多少？
作业布置
解 (1)因为水深h随时间t的变化而变化，所以水深h是时间t的函数.
(2)当t分别取4，10，17时，h是分别是5，7，5m.
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4.1.1 变量与函数教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：1
课 题 变量与函数 课型 新授课
教学目标 1. 通过生活中的实例，理解变量与常量的概念； 2. 掌握函数的概念，了解自变量、因变量、函数值的概念； 3. 初步了解求函数值、确定自变量的取值范围的方法； 4. 通过分析变量之间的函数关系，提高分析、解决问题的能力.
教学重点 1. 理解、掌握函数的概念； 2. 通过对变量之间的函数关系的分析，提高分析、解决问题的能力.
教学难点 1. 掌握函数概念； 2. 根据实际问题中两个变量的变化情况分析函数关系.
教 学 活 动
一、新知导入 教师谈话：在自然现象和日常生活中，我们经常会遇到许多变化的量.其中有些量随着另一些量的变化而变化。例如，一棵树苗的高度随生长年数的变化而变化；汽车匀速行驶，行驶的路程随行驶时间的变化而变化；在利率相同的条件下，存款利息随本金的变化而变化。 如何研究两个变化的量之间的关系呢？我们可以借助函数来解决。 二、教学新知 （一）实例分析 问题1：如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线。它反映了该地某一天的气温T(℃)是如何随着时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？ 分析：(1)从图中曲线可以看出某地一天中的气温随着时间的变化而变化. (2)看图可知，4时的气温是 10 ℃，14时的气温是 20 ℃. 问题2：当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，...时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表： 边长x1234567…面积S…
1、 学生在表中依次填1，4，9，16，25，36，49 2、 引导学生看表说出：在这个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化. 问题3：某城市居民用的天然气，1m 收费2.88元，使用x(m )天然气应缴纳的费用y(元)为 y=2.88x.当x=10时，缴纳的费用为多少？ 1、 讨论：在这个问题中，什么量随着另一个量的变化而变化？ 2、 指出：在这个问题中，使用天然气缴纳的费用y随所用天然气的体积x的变化而变化. 3、 学生填空，体会变化关系 例如，当x=10时，y= 28.8 (元)；当x=20时，y= 57.6 (元). （二）讲解概念 1、 变量与常量 (1)概念：在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数). (2)例子：在上述3个问题中，时间t，气温T；正方形的边长x，面积S；使用天然气的体积x，应缴纳的费用y等都是变量. 每使用1m 天然气收费2.88元，2.88是常量. 2、 函数 (1)函数的概念：一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x的函数，记作y=f(x).此时称x是自变量，y是因变量，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作y=f(a). (2)分析函数关系 说一说： 在问题1中，时间t是自变量，气温T是时间t的函数. 在问题2中，正方形的边长是自变量，正方形的面积是边长的函数. . 在问题3中，天然气的体积x是自变量，应缴纳的费用y是天然气的体积x的函数. 三、讲解例题 例1 如图，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm )是r的函数. (1)用含r的代数式表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围. (2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π) 解：(1)根据圆柱的体积=底面积×高，得 圆柱的体积V=4πr ，自变量r的取值范围是r＞0. (2)当r=5时，V=4π×25=100π(cm )； 当r=10时，V=4π×100=400π(cm ). 四、巩固练习 1、 农贸批发市场的土豆批发价为2元/kg，批发所得现金y元随土豆的质量xkg的变化而变化，在这个变化过程中， (1)变量是 x，y ，常量是 2 ； (2)y与x的关系是 y=2x ，自变量是 x ，因变量是 y ， y 是 x 的函数. (3)自变量的取值范围是 x≥0 . 2、 (2021成华区期末)汽车以100km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 汽车 B. 路程 C. 速度 D. 时间 【答案】D 3、 (2021新城区期末)声音在空气中传播的速度简称音速，试验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温x/℃05101520音速y/(m/s)331334337340343
下列结论错误的是（ ） A. 在变化过程中，气温是自变量 ，音速是因变量 B. y随x的增大而增大 C. 当气温为30℃时，音速为350m/s D. 温度每升高5℃，音速增加3m/s 【答案】C 五、课堂总结 教师提问，学生回答，ppt展示： 1、 什么叫作变量，什么叫作常量？ PPT：在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 2、 什么叫作函数？函数中的自变量、因变量分别是什么？ PPT：一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x的函数，记作y=f(x).此时称x是自变量，y是因变量，对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作y=f(a). 3、 如何作关于y轴(或x轴)的轴对称图形？ PPT：①写出原图形的顶点坐标； ②写出原图形顶点关于y轴(或x轴)的对称点的坐标； ③依次连接所作顶点，即得所得图形. 六、作业布置 第112页练习第1、2题： 1、 指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ (1)一辆汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)； (2)圆的半径r和圆面积S满足：S=πr (3)银行的存款利率P与存期t . 解 (1)S=80t，行驶路程S随着行驶时间t的变化而变化。 (2)S=πr ，圆的面积S随着半径r的变化而变化。 (3)银行的存款利率P随着存期t的变化而变化。 2、 如图，A港口某天受潮汐的影响，24小时内港口水深h(m)随时间t(时)的变化而变化. (1)水深h是时间t的函数吗？ (2)当t分别取4，10，17时，h是多少？ 解 (1)因为水深h随时间t的变化而变化，所以水深h是时间t的函数. (2)当t分别取4，10，17时，h是分别是5，7，5m.
板书设计 4.1.1变量与函数 1、 变量与常量的概念； 2、 函数以及自变量、因变量、函数值的概念； 3、 求函数值及自变量的取值范围.
课后反思
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