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4.2 一次函数
湘教版 八年级下
教学目标
1. 理解一次函数、正比例函数的概念；
2. 了解一次函数的特征，能确定自变量的取值范围；
3. 会求一次函数的函数值和自变量；
4. 能写出简单问题中一次函数的表达式，并解决问题.
新知导入
1. 函数的表示法有 ， ， .
图象法
列表法
公式法
2. 在平面直角坐标系中，横坐标表示 的值，纵
坐标表示 的值. 以自变量取的各个值及对应的
函数值分别为横坐标和纵坐标描出每一个点，由所有这
些点组成的图形叫作函数的 .
3. 表示 叫作函数的表达式.
因变量与自变量的数量关系的式子
自变量
函数
图象
新知导入
1.某地电费的单价为0.8元/(kw·h)，请用表达式表示电费y(元)与所用电量x(kw·h)之间的函数关系。
动脑筋
因为电费y(元)随用电量x(kw·h)而变化，所以用电量x是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为
电费=单价×用电量
所以
y=0.8x
①
新知导入
2.某弹簧秤最大能称不超过10(kg)的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm.挂上重物后的长度为y(cm) ，所挂重物的质量为x(cm)，请用表达式表示弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系.
动脑筋
新知讲解
因为弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(kg)而变化，所以所挂物体质量x是自变量，弹簧长度y(cm)是x的函数.
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
所以
y=10+0.5x
②
由于弹簧长度y(cm)与物体质量x之间的数量关系为
新知导入
函数①、②式有什么共同点？
说一说
y=0.8x
①
y=10+0.5x
②
函数y=0.8x，y=10+0.5x都是自变量x的一次式.
新知讲解
像函数y=0.8x，y=10+0.5x一样，表达式是关于自变量的一次式，这样的函数称为一次函数.
一次函数的一般形式是：
定义
y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
特别地，当b＝0时,一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫做正比例函数，其中k叫作比例系数.
新知讲解
自变量x 0 1 2 3 4 … 9 10
因变量y 10 10.5 11 11.5 12 … 14.5 15
下面我们来研究一次函数的特征.
在函数y=10+0.5x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下：
我们发现，自变量每增加1，因变量都是增加0.5.
上述问题中，每使用1kw·h电，需付费0.8元；每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm.
新知讲解
自变量x 0 1 2 3 4 … 9 10
因变量y 0.8 1.6 2.4 3.2 4 … 7.2 8
在函数y=0.8x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下：
我们发现，自变量每增加1，因变量都是增加0.8.
新知讲解
通过对上面两个函数的分析，我们可以得出一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量.
新知讲解
一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)是关于自变量的一次式，因此自变量的取值范围是实数集.但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围. 例如，在收取电费的问题中，自变量的取值范围是x≥0；在弹簧称重问题中，自变量的取值范围是0≤x≤10.
例 科学研究发现，海平面以上10km以内，海拔每升高1km，气温下降6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃).
(1)求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式.
(2)若有一架飞机飞过甲地上空，机窗内仪表显示飞机外面的气温为-34℃，求飞机离地面的高度.
例题讲解
分析 (1)明确问题中的自变量、函数表示的实际意义，找出函数y(℃)与自变量x之间的数量关系，即可求出y(℃)随x(km)而变化的函数表达式；(2)将函数值y=-34代入函数式中即可求得飞机离地面的高度x的值.
例题讲解
解 (1)高出地面的高度x(km)是自变量，高出地面x(km)处的气温为y(℃)是x的函数，它们之间的数量关系为
甲地高出地面xkm处的气温=地面气温－下降的气温，
y=20-6x.
即
(2)当 y=-34时，
即 20-6x=-34，解得 x=9.
答：此时飞机离地面的高度为9km.
巩固练习
1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
巩固练习
2. 若y=ax+3(a+5)是y关于x的正比例函数，则a=（ ）
A. 3
B. -3
C. 5
D. -5
D
巩固练习
3. 小华比妈妈小20岁，今年小华12岁，设x年后妈妈的年龄为y岁.
(1)y随x而变化的函数关系表达式是 ；
(2)当妈妈60岁时，小华的年龄增加 岁；
(3) 年后，妈妈的年龄是小华的2倍.
y=x+32
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8
课堂总结
什么叫作一次函数？一次函数的一般形式是什么？
表达式是自变量的一次式的函数叫作一次函数.
一次函数的一般形式是：y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
什么叫作正比例函数？什么叫作正比例函数的比例系数？
一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫做正比例函数，其中k叫作比例系数.
课堂总结
一次函数的特征是什么？
因变量随自变量的变化是均匀的.即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量.
如何求出实际问题中一次函数的表达式？
①弄清自变量、函数的实际含义.
②分析函数与自变量的数量关系.
③根据数量关系写出函数表达式，并写出自变量的取值范围.
作业布置
1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
一次函数
正比例函数
都不是
都不是
一次函数
作业布置
2. 某租车公司提供的汽车，每辆车日租金为350元，每行驶1km的附加费用为0.7元.求租一辆车一天的费用y(元)随行驶路程x(km)而变化的函数表达式，并求当y=455时，x的值.
解 y=0.7x+350.
当y=455时，即0.7x+350=455，解得x=15.
作业布置
3. 已知y与x-2成正比例，当x＝5时，y＝6.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)求x=3.5时，y的值.
解 (1)设y=k(x-2).则当x＝5，y＝6时，有
k(5-2)=6.
解得 k=2.
所以 y=2(x-2)，化简得 y=2x-4.
(2)当 x=3.5时，y=2×3.5-4=3.
作业布置
4. 某电脑专卖店购进某型号笔记本电脑，如果每天卖出140台，则20天可以全部售完.
(1)写出该型号笔记本电脑的存货量y(台)与售出时间x (天)的函数表达式；
(2)售出12天后，该型号电脑还有多少件？
解 (1)y=140×20-140x，即y=2800-140x.
(2)当x=12时，y=2800-140×12=1120.
答：售出12天后，该型号电脑还有1120台.
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4.2 一次函数教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：3
课 题 一次函数的概念及特征 课型 新授课
教学目标 1. 理解一次函数、正比例函数的概念； 2. 了解一次函数的特征，能确定自变量的取值范围； 3. 会求一次函数的函数值和自变量； 4. 能写出简单问题中一次函数的表达式，并解决问题.
教学重点 1. 理解一次函数、正比例函数的概念，掌握它们的一般形式； 2. 学会一次函数的函数值和自变量的值； 3. 写出实际问题中的一次函数的表达式，解决实际问题。
教学难点 1. 掌握一次函数的概念和一般形式； 2. 建立实际问题中的一次函数模型.
教 学 活 动
一、新知导入 填空： 1、 函数的表示法有 图象法 、 列表法 、 公式法 . 2、 在平面直角坐标系中，横坐标表示的 自变量 的值，纵坐标表示 函数 的值， 以自变量取的各个值及对应的函数值分别为横坐标和纵坐标描出每一个点，由所有这些点组成的图形叫作函数的 图象 . 3、 表示 因变量与自变量的数量关系的式子 叫作函数的表达式. 二、教学新知 （一）讲解一次函数、自变量函数的概念 1、 讲解问题1：某地电费的单价为0.8元/(kw·h)，请用表达式表示电费y(元)与所用电量x(kw·h)之间的函数关系。 讲解：因为电费y(元)随用电量x(kw·h)而变化，所以用电量x是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为 电费=单价×用电量 所以 y=0.8x ① 2、 讲解问题2：2.某弹簧秤最大能称不超过10(kg)的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm.挂上重物后的长度为y(cm)，所挂重物的质量为x(cm)，请用 表达式表示弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系. 讲解：因为弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(kg)而变化，所以所挂物体质量x是自变量，弹簧长度y(cm)是x的函数. 由于弹簧长度y(cm)与物体质量x之间的数量关系为 弹簧长度=原长+弹簧伸长量 所以 y=10+0.5x ② 3、 观察发现 说一说： 函数①、②式有什么共同点？ 生：函数y=0.8x，y=10+0.5x都是自变量x的一次式. 4、 讲解概念： 定义：像函数y=0.8x，y=10+0.5x一样，表达式是关于自变量的一次式，这样的函数称为一次函数. 一次函数的一般形式是： y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 特别地，当b＝0时,一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫做正比例函数，其中k叫作比例系数. （二）探究一次函数的特征 师：下面我们来研究一次函数的特征. 1、 函数分析：上述问题中，每使用1kw·h电，需付费0.8元；每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm. (1)在函数y=10+0.5x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下： 生：我们发现，自变量每增加1，因变量都是增加0.5. (2)在函数y=0.8x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下： 生：我们发现，自变量每增加1，因变量都是增加0.8. 2、 归纳小结：通过对上面两个函数的分析，我们可以得出一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量. （三）讲解一次函数的自变量的取值范围 一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)是关于自变量的一次式，因此自变量的取值范围是实数集.但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围. 例如，在收取电费的问题中，自变量的取值范围是x≥0；在弹簧称重问题中，自变量的取值范围是0≤x≤10. 三、讲解例题 例 科学研究发现，海平面以上10km以内，海拔每升高1km，气温下降6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃). (1)求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式. (2)若有一架飞机飞过甲地上空，机窗内仪表显示飞机外面的气温为-34℃，求飞机离地面的高度. 分析：(1)明确问题中的自变量、函数表示的实际意义，找出函数y(℃)与自变量x之间的数量关系，即可求出y(℃)随x(km)而变化的函数表达式； (2)将函数值y=-34代入函数式中即可求得飞机离地面的高度x的值. 解：(1)高出地面的高度x(km)是自变量，高出地面x(km)处的气温为y(℃)是x的函数，它们之间的数量关系为 甲地高出地面xkm处的气温=地面气温－下降的气温， 即 y=20-6x. (2)当 y=-34时， 即 20-6x=-34， 解得 x=9. 答：此时飞机离地面的高度为9km. 四、巩固练习 1、 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. y=x +4 B. C. y=3(x+2) 3x D. y=+1 【答案】B 2、 若y=ax+3(a+5)是y关于x的正比例函数，则a=（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【答案】D 3、 小华比妈妈小20岁，今年小华12岁，设x年后妈妈的年龄为y岁. (1)y随x而变化的函数关系表达式是 y=x+32 ； (2)当妈妈60岁时，小华的年龄增加 28 岁； (3) 8 年后，妈妈的年龄是小华的2倍. 五、课堂总结 1、 什么叫作一次函数？一次函数的一般形式是什么？ 表达式是自变量的一次式的函数叫作一次函数. 一次函数的一般形式是：y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 2、 什么叫作正比例函数？什么叫作正比例函数的比例系数？ 一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫做正比例函数，其中k叫作比例系数. 3、 一次函数的特征是什么？ 因变量随自变量的变化是均匀的.即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量. 4、 如何求出实际问题中一次函数的表达式？ ①弄清自变量、函数的实际含义. ②分析函数与自变量的数量关系. ③根据数量关系写出函数表达式，并写出自变量的取值范围. 六、作业及指导 1、 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1)y=8 2x 一次函数 (2)y= 2x 正比例函数 (3) 都不是 (4)y=3x2+4x 7 都不是 (5)y=5x 1 一次函数 2、 某租车公司提供的汽车，每辆车日租金为350元，每行驶1km的附加费用为0.7元.求租一辆车一天的费用y(元)随行驶路程x(km)而变化的函数表达式，并求当y=455时，x的值. 解 y=0.7x+350. 当y=455时， 即0.7x+350=455， 解得x=15. 3、 已知y与x-2成正比例，当x＝5时，y＝6. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)求x=3.5时，y的值. 解 (1)设y=k(x-2).则当x＝5，y＝6时，有 k(5-2)=6. 解得 k=2. 所以 y=2(x-2). 化简得 y=2x-4. (2)当 x=3.5时，y=2×3.5-4=3. 4、 某电脑专卖店购进某型号笔记本电脑，如果每天卖出140台，则20天可以全部售完. (1)写出该型号笔记本电脑的存货量y(台)与售出时间x (天)的函数表达式； (2)售出12天后，该型号电脑还有多少件？ 解 (1)y=140×20-140x， 即 y=2800-140x. (2)当x=12时， y=2800-140×12=1120. 答：售出12天后，该型号电脑还有1120台.
板书设计 4.2一次函数 1、 一次函数的概念及一般形式； 2、 正比例函数的概念； 3、 一次函数的特征； 4、 写出表示实际问题中的一次函数表达式，解决实际问题.
课后反思
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