8.6.3平面与平面垂直 课件（14张PPT）

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8.6.3 平面与平面垂直（3）
人教A版2019高中数学必修第二册
定义法和三垂线法求二面角
复习回顾
l
A
B
β
α
．P
．Q
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
二面角的记法：
①二面角α-AB-β；②二面角P-AB-Q；③二面角α-l-β或P-l-Q．
A
B
β
α
l
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，
以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于
棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB
叫做二面角的平面角．
O
二面角的大小可以用它的平面角来度量.
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．
例题讲解
一、定义法
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
a
O
A
B
解　取AB的中点D，连接VD，CD，
∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB为等边三角形，
∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小为60°.
例1　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝ ，求二面角V－AB－C的大小.
D
练习1 如图,已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，
且AB=AC=3,BC=2,求二面角A-BC-D的余弦值.
D
A
C
B
解：
∵三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，
且AB=AC=3,BC=2
∴BD=DC=3,AD=2.
作BC的中点E，连接AE、DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
∴∠AED是二面角A-BC-D的平面角.
利用勾股定理易得AE=DE=
在△ADE中，由余弦定理得
cos∠AED=
∴二面角A-BC-D的余弦值为 .
E
E
练习2
在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角.
二、三垂线法
A
B
O
a
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.
解：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接PD.
∴BC⊥平面PAD.
∴BC⊥PD.
∴PA⊥BC.
又PD∩AD=D，
例2 如图，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=3，
AB=2，AC= 求二面角P-BC-A的余弦值.
A
B
P
C
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴∠PDA是二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△ABC中易得BC=
4.
解得AD=
在Rt△PAD中易得PD=
∴cos∠PDA=
∴二面角P-BC-A的余弦值为 .
D
O
A
B
P
C
取AB 的中点为E，连PE，OE
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90
∴OE∥BC且 OE BC
在Rt△POE中， OE ，PO
∴
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE
OE⊥AB ，因此 PE⊥AB
E
解：
E
O
P
练习3 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。
求二面角大小的方法：
①定义法
②三垂线法
课堂小结
教材163页6题，164页18题
课时作业
课后作业