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4.4 用待定系数法确定一次函数表达式教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：6
课 题 用待定系数法确定一次函数表达式 课型 新授课
教学目标 1. 掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法； 2. 能熟练地用待定系数法确定一次函数的表达式； 3. 能利用一次函数表达式和图象解决简单的实际问题.
教学重点 1. 理解用待定系数法确定一次函数表达式的方法和步骤； 2. 根据已知条件确定一次函数的表达式。
教学难点 1. 根据直线上点的坐标列、解二元一次方程组； 2. 利用确定的一次函数解析式和图象解决实际问题.
教 学 活 动
一、新知导入 做一做： 1、 一次函数的一般形式是： y=kx+b(k，b为常数，k≠0) .当 b=0 时，一次函数 y=kx 也叫作正比例函数. 2、 当x=-2，y=-1时，代数式ax+by的值是-1；当x=3，y=-2时，代数式ax+by的值是12.为了求出a，b的值，你能列出一个二元一次方程组吗？ 二、教学新知 （一）探究用待定系数法确定一次函数表达式的方法 1、 教师谈话：许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式，怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？ 2、 探究问题1 (1)出示问题 如图，已知一次函数的图象经过P(0，-1)， Q(1，1)两点.怎样确定这个一次函数的表达式？ (2)分析解答 ①因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，所以要求出一次函数的表达式，关键是要确定k， b的值(即待定的系数). ②由于P(0，-1)，Q(1，1)都在所求函数的图象上，因此它们的坐标应满足y=kx+b，将这两点坐标代入该式中，便可得到一个关于k，b的二元一次方程组： 解这个方程组得 所以，这个一次函数的表达式为y=2x-1. 3、 抽象概念： 像这样，通过先设定函数表达式(确定函数模型)，再根据条件确定表达式中的未知数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法. （二）讨论确定正比例函数表达式的条件 出示问题2： 要确定正比例函数的表达式需要几个条件？举例和大家交流. 生：除原点外，还要知道一个点的坐标(或一对x、y的值)，例如，已知正比例函数的图象经过点(3、9)，将点的坐标代入y=kx，得 k·3=9，解得k=3，则该正比例函数的解析式为y=3x. 三、例题讲解 例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？ 分析 因为已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，求出这个一次函数的表达式，即能方便地华氏温度换算成摄氏温度。 解 用C，F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似于一次函数关系，因此可设C关于F的函数表达式为C= kF + b， 由已知条件，得 解这个方程组，得，. 因此摄氏温度与华氏温度的函数表达式为. 有了这个表达式就可以将华氏温度换算成摄氏温度了. 想一想：华氏温度与对应的摄氏温度有相等的可能吗？ PPT：若华氏温度与对应的摄氏温度相等，则由它们的函数表达式，得 . 解得C=-40. 因此当摄氏温度为-40℃时，华氏温度与摄氏温度相等. 例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示. (1)求y关于x的函数表达式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？ 分析(1)观察图象可知，有两点P(2，30)，Q(6，10)在一次函数图象上，故可用待定系数法求函数表达式；(2)当余油量为零时，对应的时间即为一箱油可供拖拉机工作的时间. 解 (1)设一次函数的表达式为y=kx+b. 将P(2，30)，Q(6，10)两点的坐标代入表达式，得 解得 k=-5，b=40. 所以 y=-5x+40. (2)当剩余量为0时，即y=0时， 得 -5x+40=0，x=8. 所以一箱油可供拖拉机工作8h. 四、巩固练习 1、 已知一个正比例函数的图象经过点(4，-2)，那么它的图象必经过（ ） A. (-8，-4) B. (-4，-8) C. (-8，4) D. (8，4) 【答案】C 2、 若一次函数y=kx+b的图象经过点(-2，3)，(1，6)，则该函数的表达式为（ ） A. y=-2x+3 B. y=-2x+18 C. y=x+5 D. y=-x+8 【答案】D 3、 已知某一次函数的图象与x轴的交点坐标是(-4，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)，则该函数的表达式为（ ） A. y=-4x+3 B. y=3x-4 C. y=-x+3 D. y=x+3 【答案】D 4、 如图，在平面直角坐标中，直线AB的函数表达式是（ ） A. y=-3x+4 B. y=4x+3 C. y=x+1 D. y= x+1 【答案】C 五、课堂总结 师问生答 1、 什么叫做待定系数法？ 通过先设定函数表达式(确定函数模型)，再根据条件确定表达式中的未知数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法. 2、 如何用待定系数法求正比例函数表达式？需几个条件？ PPT：①设函数表达式为y=kx； ②将已知的x、y的值代入表达式； ③解关于k的方 程，求出k的值； ④写出求得的函数表达式. 求正比例函数表达式只需不为0的一对x、y值或一个点的坐标. 3、 如何用待定系数法求一次函数表达式？需几个条件？ PPT：①设函数表达式为y=kx+b； ②将已知的两组x、y的值代入表达式，列出关于k，b的二元一次方程组； ③解关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的的值； ④写出求得的函数表达式. 求一次函数表达式需要两组x、y值或两点的坐标. 六、作业及指导 课本第131页练习1、2、3题 1、 把84℉换算成摄氏温度. 解 . 2、 已知一次函数的图象经过两点A(-1，3)，B(2，-5)，求这个函数的解析式. 解 设这个一次函数的表达式为y=kx+b. 将点A(-1，3)，B(2，-5)的坐标代入，得 解得，. 所以这个函数的表达式是. 3、 酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间在一定范围内近似于一次函数关系，现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250L，在40℃时的体积为5.481L，求这些酒精在10℃和30℃时的体积各是多少？ 解 设体积与温度之间的函数关系为y=kx+b，由已知得 解得 k=0.005775，b= 5.250. 因此所求一次函数的解析式为 y=0.005775x+5.250. 在10℃，即x=10时， 体积y=0.005775×10 +5.250=5.30775(L). 在30℃，即x=30时， 体积y=0.005775×30 +5.250=5.42325(L). 答 这些酒精在10℃和30℃时的体积各是5.30775L和5.42325L. 能力提升 已知y是x的一次函数，且当x取4，6时，y的值分别为9和-1.这个一次函数 (1)求这个一次函数的表达式； (2)将所得函数的图象平移，使它过点(5，-3)，求平移后图象的表达式，并指出平移的方向和距离. 解 (1)设该一次函数为y=kx+b，则 解得 k=-5，b=29. 因此 y与x的函数表达式为y=-5x+29. (2)设平移后图象的表达式为y=-5x+29+b， 将点(5，-3)代入得 -5×5+29+b=-3. 解得 b=-7. 因此平移后图象的表达式为y=-5x+22. 它是由直线y=-5x+29向下平移7个单位长度得到的.
板书设计 4.4用待定系数法确定一次函数表达式 1、 用待定系数法确定一次函数表达式的概念 2、 用待定系数法确定一次（正比例）函数表达式的步骤 ①设y=kx+b(y=kx)；②代入，列方程(组)；③解方程(组)；④写表达式.
课后反思
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4.4 用待定系数法确定一次函数表达式
湘教版 八年级下
教学目标
1. 掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法步骤；
2. 能熟练地用待定系数法确定一次函数的表达式；
3. 能利用一次函数表达式和图象解决简单的实际问题.
新知导入
做一做：
1. 一次函数的一般形式是： .
当 时，一次函数 也叫作正比例函数.
2. 当x=-2，y=-1时，代数式ax+by的值是-1；当x=3，y=-2时，代数式ax+by的值是12.为了求出a，b的值，你能列出一个二元一次方程组吗？
b=0
y=kx
y=kx+b(k，b为常数，k≠0)
新知导入
如图，已知一次函数的图象经过P(0，-1)， Q(1，1)两点.怎样确定这个一次函数的表达式？
探究
许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式，怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？
新知导入
因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，所以要求出一次函数的表达式，关键是要确定k， b的值(即待定的系数).
如图，由于P(0，-1)，Q(1，1)都在所求函数的图象上，因此它们的坐标应满足y=kx+b，将这两点坐标代入该式中，便可得到一个关于k，b的二元一次方程组.
新知导入
解这个方程组得
将点P(0，-1)，Q(1，1)的坐标代入y=kx+b，得
y=2x-1.
所以，这个一次函数的表达式为
新知导入
像这样，通过先设定函数表达式(确定函数模型)，再根据条件确定表达式中的未知数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.
新知导入
要确定正比例函数的表达式需要几个条件？并举例.
议一议
除原点外，还要知道一个点的坐标(或一对x、y的值).
例如，已知正比例函数的图象经过点(3、9)，将点的坐标代入y=kx，得 k·3=9，解得k=3，则该正比例函数的解析式为y=3x.
例题讲解
例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
分析 因为已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，求出这个一次函数的表达式，即能方便地华氏温度换算成摄氏温度。
新知导入
解 用C，F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似于一次函数关系，因此可设C关于F的函数表达式为C= kF + b，
由已知条件，得
解这个方程组，得
因此摄氏温度与华氏温度的函数表达式为
有了这个表达式就可以将华氏温度换算成摄氏温度了.
新知讲解
想一想：华氏温度与对应的摄氏温度有相等的可能吗？
若华氏温度与对应的摄氏温度相等，则由它们的函数表达式，得
解得
C=-40.
因此当摄氏温度为-40℃时，华氏温度与摄氏温度相等.
新知讲解
例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
分析 (1)观察图象可知，有两点P(2，30)，Q(6，10)在一次函数图象上，故可用待定系数法求函数表达式；(2)当余油量为零时，对应的时间即为一箱油可供拖拉机工作的时间.
新知讲解
解 (1)设一次函数的表达式为y=kx+b.
将P(2，30)，Q(6，10)两点的坐标代入表达式，得
2k+b=30，
6k+b=10.
解得 k=-5，b=40.
所以 y=-5x+40.
例题讲解
(2)当剩余量为0时，即y=0时， 得
﹣5x+40=0，x=8.
所以一箱油可供拖拉机工作8h.
课堂总结
什么叫做待定系数法？
通过先设定函数表达式(确定函数模型)，再根据条件确定表达式中的未知数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.
如何用待定系数法求正比例函数表达式？需几个条件？
①设函数表达式为y=kx，②将已知的x、y的值代入表达式，③解关于k的方程，求出k的值，④写出求得的函数表达式.
求正比例函数表达式只需除原点外一个点的坐标或一对x、y值.
课堂总结
如何用待定系数法求一次函数表达式？需几个条件？
①设函数表达式为y=kx+b；
②将已知的两组x、y的值代入表达式，列出关于k，b的二元一次方程组；
③解关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的的值；
④写出求得的函数表达式.
求一次函数表达式需要两组x、y值或两点的坐标.
巩固练习
1. 已知一个正比例函数的图象经过点(4，-2)，那么它的图象必经过（ ）
A. (-8，-4)
B. (-4，-8)
C. (-8，4)
D. (8，4)
C
巩固练习
2. 若一次函数y=kx+b的图象经过点(-2，3)，(1，6)，则该函数的表达式为（ ）
A. y=-2x+3
B. y=-2x+18
C. y=x+5
D. y=-x+8
C
巩固练习
3. 已知某一次函数的图象与x轴的交点坐标是(-4，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)，则该函数的表达式为（ ）
A. y=-4x+3
B. y=3x-4
C. y=x+3
D. y=x+3
D
巩固练习
4. 如图，在平面直角坐标中，直线AB的函数表达式是
（ ）
A. y=-3x+4
B. y=4x+3
C. y=x+1
D. y=x+1
C
作业布置
1. 把84℉换算成摄氏温度.
课本第131页练习1、2、3题
解：
作业布置
2. 已知一次函数的图象经过两点A(-1，3)，B(2，-5)，求 这个函数的解析式.
解 设这个一次函数的表达式为y=kx+b.
将点A(-1，3)，B(2，-5)的坐标代入，得
-k+b=3，
2k+b=-5.
解得 k=，b=.
所以 y=x+.
作业布置
3. 酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间在一定范围内近似于一次函数关系，现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250L，在40℃时的体积为5.481L，求这些酒精在10℃和30℃时的体积各是多少？
解 设体积与温度之间的函数关系为y=kx+b，由已知得
k×0 + b = 5.250，
k×40 + b = 5.481.
作业布置
解得 k=0.005775，b= 5.250.
因此所求一次函数的解析式为 y=0.005775x+5.250.
在10℃，即x=10时，
体积y=0.005775×10 +5.250=5.30775(L).
在30℃，即x=30时，
体积y=0.005775×30 +5.250=5.42325(L).
答 这些酒精在10℃和30℃时的体积各是5.30775L和5.42325L.
能力提升
已知y是x的一次函数，且当x取4，6时，y的值分别为9和-1.这个一次函数
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)将所得函数的图象平移，使它过点(5，-3)，求平移后图象的表达式，并指出平移的方向和距离.
解 (1)设该一次函数为y=kx+b，则
4k + b = 9，
6k + b =-1.
作业布置
解得 k=-5，b=29.
因此 y与x的函数表达式为y=-5x+29.
(2)设平移后图象的表达式为y=-5x+29+b，
将点(5，-3)代入得 -5×5+29+b=-3.
解得 b=-7.
因此平移后图象的表达式为y=-5x+22.
它是由直线y=-5x+29向下平移7个单位长度得到的.
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