(共28张PPT)
4.5 一次函数的应用(1)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 掌握利用一次函数解决实际问题的步骤；
2. 能根据在不同阶段的数量变化建立分段一次函数模型；
3. 能利用两个一次函数及其图象的比较解决问题；
4. 体会运用函数模型数形结合与现实生活的密切联系.
新知导入
1. 一次函数的一般形式是什么？什么叫作正比例函数？
一次函数的一般形式是：y=kx+b(k，b为常数，k≠0).特别地，当b=0时，一次函数y=kx也叫作正比例函数.
2. 一次函数的特征是什么？
一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的(即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或减少)相同的数量).
说一说：
新知导入
3. 确定一次函数的表达式有哪两种类型的问题？
一种是根据因变量与自变量的数量关系确定函数表达式.
4. 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤有哪些？
①设函数表达式为y=kx+b或y=kx(正比例函数).
另一种是根据某些自变量和函数的对应值，或点的坐标建立一次方程(组)确定函数的表达式.
②根据条件列出求系数k，b的方程(组).
③解方程(组)，确定k，b的值，写出函数表达式.
新知导入
1. 一辆汽车每小时行驶80千米，汽车行驶的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数表达式为 .
2.已知y是x的一次函数，它的图象经过(2，0)和(1，4)两点，求这个一次函数的表达式.
做一做：
新知导入
某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度. 规定每户居民每月用电量不超过160kw·h，则按0.6元/(kw·h)收费；若超过160kw·h，则超出部分每1kw·h加收0.1元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与所用的电量x(kw·h)之间的函数表达式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)小王家3月份，4月份分别用电150kw·h和200kw·h，应缴纳电费各多少元？
动脑筋
新知导入
“规定每户居民每月用电量不超过160kw·h，则按0.6元/(kw·h)收费；若超过160kw·h，则超出部分每1kw·h加收0.1元.”是什么意思？电费y与x的函数表达式如何写？
(1)电费与用电量相关，电费y按所用的电量x分段收取.
当0≤x≤160时，y=0.6x；
当x＞160时，y=160×0.6+(x-160)×(0.6+0.1)= 0.7x-16.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
新知导入
(2)该函数的图象如图所示.
可以看出，该图象由两个一次函数的图象拼接在一起.
(3)当x=150时，y=0.6×150=90，即3月份的电费为90元；
当x=200时，y=0.7×200-16=124，即4月份的电费为124元.
例题讲解
上面问题中，在不同用电量范围内，收费标准不同，所收电费y与用电量x有不同的函数关系.这种问题的函数，是分段函数.解决这类函数问题，我们应当注意：
①找出自变量的起始值和终止值；
②分析自变量在各个范围内，函数与自变量数量关系，写出函数表达式及自变量的取值范围；
③先确定每段函数图象起点和终点，再画出函数图象；
④要根据不同范围的函数表达式和图象解决问题.
例题讲解
例1 甲、乙两地相距40km，小明8:00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明所用的时间为x(h)，小明与甲地的距离为y (km)，小红离甲地的距离为y (km).
(1)分别写出y ，y 与x之间的函数表达式；
(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象,并指出谁先到达乙地.
新知导入
分析 (1)小明平均车速为8km/h，所用的时间为x(h)；小红平均车速为40km/h，由于比小明晚出发2h，因此所用时间为是(x-2)h.根据“路程=速度×时间”即可写出y ，y 与x之间的函数表达式.
(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象,观察图象，哪个函数图象先到达40km位置，谁就先到达乙地.
新知讲解
解 (1) y =8x，0≤x≤5；y =40(x-2)，2≤x≤3.
(2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.
过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线 y2=40(x-2)相交，这表明小红先到达乙地.
l
M
例题讲解
在例1中，同一问题有两种不同的函数关系，求出并利用这两个函数从图象和性质等方面进行比较，可以解决一些如方案选择的问题.其解决问题的方法是：
①先分别根据数量关系写出函数表达式；
②在同一直角坐标系中画出这些函数的图象；
③对函数表达式、函数图象和性质进行比较，解决问题.
练习指导
1. 某音像店对外出租光盘的收费标准是：每张光盘在出租后头两天的租金为0.8元/天，以后每天收0.5元. 求一张光盘在租出后第n天的租金y(元)与时间n(天)之间的函数表达式.
课本第134页练习1、2题
解 租金与出租时间相关，租金y按出租时间n分段收取.
当0≤x≤2时， y=0.8n；
当x＞2时，y=0.8×2+0.5(n-2)= 0.5n+0.6.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
练习指导
2. 某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A方案：每月收取基本月租费25元，另收通话费为0.36元/min；
B方案：零月租费，通话费为0.5元/min.
(1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数表达式；
(2)分别画出这两个函数的图象；
(3)若林先生每月通话300 min，他选择哪种付费方式比较合算？
练习指导
解 (1)按“方案A：每月收取基本费25元，另收通话费0.36元/min.”收费，所付话费=基本费+通话费，则
y=0.36x+25，x≥0.
按“方案B：零月租费，通话费0.5元/min.”收费，所付话费只有通话费，则
y=0.5x，x≥0.
(2)在同一直角坐标系,作出函数y=0.36x+25(x≥0)， y=0.5x(x≥0)的图象如下：
练习指导
练习指导
(3)当x=300时，
按A方案付费，y=0.36×300+25=133，
按B方案付费，y=0.5×300=150.
因为 133＜150，
所以选择A方案比较合算.
练习指导
能力提升
王阿姨从甲地开车前往乙地，到达乙地后立即返回，她与甲地的距离y(km)与所用时间x(h)的函数关系如图所示.
(1)写出y(km)与x(h)的函数表达式；
(2)王阿姨开车所用时间为多少时，她与甲地的距离为180km？
6
10
y
x
O
360
分析 (1)图象由两条线段组成，因此是两个一次图象组成的分段函数，利用两段图象的端点坐标，就可以求出表达式.
(2)从图象可知，王阿姨与甲地的距离为180km有两个时刻，可利用求得的两个函数求得这个时间.
解 (1)当0≤x≤6时，设y=kx，
把(6，360)代入，得
6k=360，解得 k=60，
所以y=60x(0≤x≤6).
6
10
y
x
O
360
当6≤x≤10时，设y=kx+b，
把(6，360)，(10，0)代入，得
解得 k=-90，b=900. 所以y=-90x+900(6≤x≤10).
能力提升
(2)当y=180时，
由y=60x得，
60x=180，
解得x=3.
6
10
y
x
O
360
答：王阿姨与甲地的距离为180km时，她开车所用时间为3h或8h.
由y=-90x+900得，
-90x+900=180，
解得x=8.
能力提升
课堂总结
应用一次函数解决实际问题的步骤有哪些？
①根据条件与变量之间的数量关系求出函数表达式；
②画出函数图象(注意自变量的取值范围)；
③根据函数表达式，结合图象解答问题.
如何解决分段函数问题？
①根据自变量的不同范围，分别求出函数表达式；
②描出图象在各段的端点，分别画出它们的图象；
③根据在不同范围的函数表达式和图象解决问题.
课堂总结
如何解决同类问题中需对两个一次函数进行比较的问题？
①先分别根据数量关系写出函数表达式；
②在同一直角坐标系中画出这些函数的图象；
③对函数表达式、函数图象和性质进行比较，解决问题.
课后作业
1. 某商店一种商品的定价每件为20元.商店为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打七折.
(1)用表达式表示购买这种商品的货款y(元)与购买数量x
(件)之间的函数关系；
(2)当x=4，x=6时，货款分别为多少元？
习题4.5第1、2题
课后作业
2. 某食品公司到果园基地购买优质柑橘，果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元，由基地送货上门.乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的应付款额y(元)与所购买的水果量x (kg)之间的函数表达式，并指出自变量x的取值范围.
(2)若购买数量分别为4500kg，5100kg，选择哪种购买方案付款少？试说明理由.
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4.5 一次函数的应用（1）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：7
课 题 一次函数的应用 课型 新授课
教学目标 1. 掌握利用一次函数解决实际问题的步骤； 2. 能根据在不同阶段的数量变化建立分段一次函数模型； 3. 能利用两个一次函数及其图象的比较解决问题； 4. 体会运用函数模型数形结合与现实生活的密切联系.
教学重点 1. 根据自变量的不同取值范围求出分段一次函数表达式解决问题； 2. 根据在相同的自变量范围内的不同数量关系求出一次函数解决问题。
教学难点 1. 根据不同的条件求一次函数的表达式； 2. 运用一次函数的性质和图象解决现实生活中的问题.
教 学 活 动
一、新知导入 说一说： 1、 一次函数的一般形式是什么？什么叫作正比例函数？ PPT：一次函数的一般形式是：y=kx+b(k，b为常数，k≠0).特别地，当b=0时，一次函数y=kx也叫作正比例函数. 2、 一次函数的特征是什么？ PPT：一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的(即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或减少)相同的数量). 3、 确定一次函数的表达式有哪两种类型的问题？ PPT：一种是根据函数与自变量的数量关系确定函数的表达式. 另一种是根据某些自变量和函数的对应值，或点的坐标建立一次方程(组)确定函数的表达式. 4、 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤有哪些？ PPT：①设函数表达式为y=kx+b或y=kx(正比例函数). ②根据条件列出求系数k，b的方程(组). ③解方程(组)，确定k，b的值，写出函数表达式. 做一做： 1、 一辆汽车每小时行驶80千米，汽车行驶的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数表达式为 . 2、 已知y是x的一次函数，它的图象经过(2，0)和(1，4)两点，求这个一次函数的表达式. 二、教学新知 出示问题： 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度. 规定每户居民每月用电量不超过160kw·h，则按0.6元/(kw·h)收费；若超过160kw·h，则超出部分每1kw·h加收0.1元. (1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与所用的电量x(kw·h)之间的函数表达式； (2)画出这个函数的图象； (3)小王家3月份，4月份分别用电150kw·h和200kw·h，应缴纳电费各多少元？ 1、 求函数表达式 启发提问： “规定每户居民每月用电量不超过160kw·h，则按0.6元/(kw·h)收费；若超过160kw·h，则超出部分每1kw·h加收0.1元.”是什么意思？电费y与x的函数表达式如何写？ 合作解答： (1)电费与用电量相关，电费y按所用的电量x分段收取. 当0≤x≤160时， y=0.6x； 当x＞160时，y=160×0.6+(x -160)×(0.6+0.1)= 0.7x-16. y与x的函数表达式也可以合起来表示为 2、 画出函数图象 (2)该函数的图象如图所示. 学生观察图象，教师指出：可以看出，该图象由两个一次函数的图象拼接在一起. 3、 利用函数解决问题 (3)当x=150时，y=0.6×150=90，即3月份的电费为90元； 当x=200时，y=0.7×200-16=124，即4月份的电费为124元. 4、 方法小结 上面问题中，在不同用电量范围内，收费标准不同，所收电费y与用电量x有不同的函数关系.这种问题的函数，是分段函数.解决这类函数问题，我们应当注意： ①找出自变量的起始值和终止值； ②分析自变量在各个范围内，函数与自变量数量关系，写出函数表达式及自变量的取值范围； ③先确定每段函数图象起点和终点，再画出函数图象； ④要根据不同范围的函数表达式和图象解决问题. 三、例题讲解 例1 甲、乙两地相距40km，小明8:00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明所用的时间为x(h)，小明与甲地的距离为y (km)，小红离甲地的距离为y (km). (1)分别写出y ，y 与x之间的函数表达式； (2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象,并指出谁先到达乙地. 分析 (1)小明平均车速为8km/h，所用的时间为x(h)；小红平均车速为40km/h，由于比小明晚出发2h，因此所用时间为是(x-2)h.根据“路程=速度×时间”即可写出y ，y 与x之间的函数表达式. (2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象,观察图象，哪个函数图象先到达40km位置，谁就先到达乙地. 解 (1) y =8x，0≤x≤5；y =40(x-2)，2≤x≤3. (2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中， 如图所示. 过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线 y2=40(x-2)相交，这表明小红先到达乙地. 方法小结：在例1中，同一问题有两种不同的函数关系，求出并利用这两个函数从图象和性质等方面进行比较，可以解决一些如方案选择的问题.其解决问题的方法是：①先分别根据数量关系写出函数表达式； ②在同一直角坐标系中画出这些函数的图象； ③对函数表达式、函数图象和性质进行比较，解决问题. 四、练习指导 课本第134页练习1、2题 1、 某音像店对外出租光盘的收费标准是：每张光盘出租后头两天的租金为0.8元/天，以后每天收0.5元. 求一张光盘在租出后第n天的租金y(元)与时间n(天)之间的函数表达式. 解 租金与出租时间相关，租金y按出租时间n分段收取. 当0≤x≤2时， y=0.8n； 当x＞2时，y=0.8×2+0.5(n-2)= 0.5n+0.6. 即 2、 某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A方案：每月收取基本月租费25元，另收通话费为0.36元/min； B方案：零月租费，通话费为0.5元/min. (1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数表达式； (2)分别画出这两个函数的图象； (3)若林先生每月通话300 min，他选择哪种付费方式比较合算？ 解 (1)按“方案A：每月收取基本费25元，另收通话费0.36元/min.”收费， 所付话费=基本费+通话费，则 y=0.36x+25，x≥0. 按“方案B：零月租费，通话费0.5元/min.”收费，所付话费只有通话费，则 y=0.5x，x≥0. (2)在同一直角坐标系,作出函数y=0.36x+25(x≥0)， y=0.5x(x≥0)的图象： (3)当x=300时， 按A方案付费，y=0.36×300+25=133， 按B方案付费，y=0.5×300=150. 因为 133＜150， 所以选择A方案比较合算. 五、能力提升 王阿姨从甲地开车前往乙地，到达乙地后立即返回，她与甲地的距离y(km)与所用时间x(h)的函数关系如图所示. (1)写出y(km)与x(h)的函数表达式； (2)王阿姨开车所用时间为多少时，她与甲地的距离为180km？ 分析 (1)图象由两条线段组成，因此是两个一次图象组成的分段函数，利用两段图象的端点坐标，就可以求出表达式. (2)从图象可知，王阿姨与甲地的距离为180km有两个时刻，可利用求得的两个函数求得这个时间. 解 (1)当0≤x≤6时，设y=kx， 把(6，360)代入y=kx，，得 6k=360，解得 k=60， 所以y=60x(0≤x≤6). 当6≤x≤10时，设y=kx+b， 把(6，360)，(10，0)代入y=kx+b，得 解得 k=-90，b=900. 所以y=-90x+900(6≤x≤10). (2)当y=180时， 由y=60x得，60x=180， 解得x=3. 由y=-90x+900得，-90x+900=180， 解得x=8. 答：王阿姨与甲地的距离为180km时，她开车所用时间为3h或8h. 五、课堂总结 师问生答 1、 应用一次函数解决实际问题的步骤有哪些？ ①根据条件如变量之间的数量关系求出函数表达式； ②画出函数图象(注意自变量的取值范围)； ③根据函数表达式，结合图象解答问题. 2、 如何解决分段函数问题？ ①根据自变量的不同范围，分别求出函数表达式； ②描出图象在各段的端点，分别画出它们的图象； ③根据在不同范围的函数表达式和图象解决问题. 3、 如何解决同类问题中需对两个一次函数进行比较的问题？ ①先分别根据数量关系写出函数表达式； ②在同一直角坐标系中画出这些函数的图象； ③对函数表达式、函数图象和性质进行比较，解决问题. 六、课后作业 习题4.5第1、2题 4、 某商店一种商品的定价每件为20元.商店为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打七折. (1)用表达式表示购买这种商品的货款y(元)与购买数量x (件)之间的函数关系； (2)当x=4，x=6时，货款分别为多少元？ 2、 食品公司到果园基地购买优质柑橘，果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元，由基地送货上门.乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运费为5000元. (1)分别写出该公司两种购买方案的应付款额y(元)与所购买的水果量x (kg)之间的函数表达式，并指出自变量x的取值范围. (2)若购买数量分别为4500kg，5100kg，选择哪种购买方案付款少？试说明理由.
板书设计 4.4一次函数的应用 1、 利用一次函数解决实际问题的一般步骤； 2、 分段函数问题 3、 利用两个一次函数的比较解决问题.
课后反思
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