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4.5 一次函数的应用(3)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标与二元一次方程kx-y+b=0的解的关系；
2. 理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，与一元一次方程kx+b=0的解的关系；
3. 能运用一次函数与一次方程的联系从“方程”和“图象”两个角度出发解决问题，提高数形结合的能力.
新知导入
1. 是方程2x+y=18的一个解吗？呢？
3. 点A(5，8)，B(9，0)在一次函数y=-2x+18的图象上吗？
2. 将方程2x+y=18变形，把y用含x的代数式表示是什么？
一次函数与二元一次方程、一元一次方程有什么关系呢？这节课，我们就来探索这个问题.
说一说：
新知讲解
一次函数的图象如图所示.
(1)方程x+y=5解有多少个？写出其中的几个.
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
动脑筋
(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y=5吗？
(4)以方程x+y=5解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
新知讲解
(1)方程x+y=5解有无数个.例如
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点.
我们发现：
这些点都在一次函数y=5-x的图象上.
新知讲解
(3)将点A(1，4)，点B(3，2)分别代入x+y=5，得1+4=5、2+3=5.说明它们的坐标是x+y=5的解.
A
B
(4)从上面探究可知，以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的y=5-x的图象相同.
新知讲解
将方程x+y=5化成函数的形式：y=5-x，易知该函数图象上的任意一点也满足方程x+y=5.
新知讲解
于是，我们得出下面结论：
一般地，一次函数y =kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.
新知讲解
你能找到下面两个问题之间的联系吗？
(1)解方程：3x-6=0.
(2)已知一次函数y=3x-6，问x取何值时，y=0？
动脑筋
新知讲解
(1)方程3x-6=0的解为x=2.
(2)画出函数y=3x-6的图象如图所示.从图中可以看出，一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(2，0)，这就是当y=0时，得x=2，而x=2正是方程3x-6=0的解.
新知讲解
于是，我们又得到下面结论：
一般地，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx +b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标.
例题讲解
例3 已知一次函数y=2x+6，求这个函数的图象与x轴的交点的横坐标.
分析 本题有两种解法：①函数y=2x+6与x轴交点的横坐标，就是当y=0时，所得方程2x+6=0的解，故解方程2x+6=0；②画出函数y=2x+6的图象，找出与x轴的交点，即可得出交点的横坐标.
解法一 令y=0，解方程2x+6=0，得 x=-3.
所以一次函数y=2x+6的图象与x轴交点的横坐标为-3.
新知导入
解法二 画出函数y=2x+6的图象如下.
直线y=2x+6与x轴交于点(-3，0)，所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.
提示 上面两种解法分别从“数”和“形”的角度出发解决问题.
巩固练习
1. 一次函数y=2x+4的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A. (2，0)
B. (4，0)
C. (-2，0)
D. (-4，0)
C
巩固练习
2. 若一次函数y=(k-2)x+2k+1的图象与y轴的交点的坐标是(0，1)，则该图象与x轴的交点的横坐标是（ ）
A. B.
C. D. -2
C
巩固练习
3. 已知一次函数y=ax+b的图象经过点M(-3，4),那么方程ax+b-4=0的解是（ ）
A. x=4
B. x=-3
C. x=-3或 x=4
D. 不能求出
B
课堂总结
一次函数y=kx+b与二元一次方程kx-y+b=0有什么关系？
一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.
一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系？
一般地，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx +b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，是一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标.
作业指导
1. 把下列二元一次方程改写成y=kx+b的形式.
(1) 3x+y=7； (2) 3x+4y=13.
解
(1) y=-3x+7；
(2)
2. 已知函数y=3x + 9，自变量满足什么条件时，y=0？
解 由3x+9=0，解得 x=-3.
所以，当x=-3时，y=0.
练习指导
3. 利用函数图象，解方程3x-9=0.
解 画出函数y=3x-9的图象，如图.
所以方程3x-9=0的解为x=3.
直线 y=3x-9与x轴交于点(3，0)，
能力提升
4. 如图，已知直线l ：y=ax+1与直线l ：y=x+4相交于点C，且点C的纵坐标为2，l ，l 分别与x轴相交于点A，点B.
(1)写出关于x的方程ax+1=x-5的解.
(2)求直线l 的解析式.
(3)求△ABC的面积.
能力提升
将点C的纵坐标2代入y=x+4，得x+4=2，解得x=-2，即点C的横坐标坐标为-2.而方程ax+1=x-5的解就是直线y=ax+1与直线y=x+4的交点的横坐标，
∴方程ax+1=x-5的解是x=-2.
解 (1)∵直线y=ax+1与直线y=x+4相交于点C，
∴ 点C既在直线y=x+4上也在直线y=ax+1上.
能力提升
(2)点C的坐标是(-2，2)，将坐标代入y=ax+1，得-2a+1=2，
解得 .
∴直线l 的解析式为
.
能力提升
(3)对于y=x+4，令y=0，得y=-4，对于，令y=0，得x=2.
∴ B(-4，0)，A(2，0).
∴ AB=2-(-4)=6.
又∵ △ABC的高为2，
∴ △ABC==6×2=6.
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4.5 一次函数的应用（3）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：6
课 题 一次函数的应用（3） 课型 新授课
教学目标 1.理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标与二元一次方程kx-y+b=0的解的关系； 2.理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，与一元一次方程kx+b=0的解的关系； 3.能运用一次函数与一次方程的联系从“方程”和“图象”两个角度出发解决问题，提高数形结合的能力.
教学重点 1.探究一次函数y=kx+b的图象上的点的坐标与二元一次方程kx-y+b=0的解的关系； 2.探究一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标，与一元一次方程kx+b=0的解的关系；
教学难点 1.根据一次函数与x轴的交点坐标求相应的一元一次方程的解； 2.利用一次函数图象和性质的综合运用.
教 学 活 动
一、新知导入 说一说：： 1、 是方程2x+y=18的一个解吗？呢？ 2、 将方程2x+y=18中变形，把y用含x的代数式表示是什么？ 3、 点A(4，8)，B(9，0)在一次函数y=-2x+18的图象上吗？一次函数与二元一次方程、一元一次方程有什么关系呢？ 导入：这节课，我们就来探索这个问题. 二、教学新知 （一）探究一次函数与二元一次方程的联系 动脑筋：一次函数的图象如图所示. (1)方程x+y=5解有多少个？写出其中的几个. (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？ (3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y=5吗？ (4)以方程x+y=5解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？ 1、 说出方程x+y=5有无数个解，并举出其中几个正整数解，如 ，，，，，. 2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点. 发现：这些点都在一次函数y=5-x的图象上. 3、 如图，将一次函数图象上的点A(1，4)，B(3，2)分别代入x+y=5，得1+4=5、2+3=5.说明它们的坐标是x+y=5的解. 将方程x+y=5化成函数的形式：y=5-x，易知该函数图象上的任意一点也满足方程x+y=5. 4、 从上面探究可知，以方程x+y=5解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的y=5-x的图象相同. 5、 得出结论：一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. （二）探究一次函数与一元一次方程的联系 动脑筋：你能找到下面两个问题之间的联系吗？ (1)解方程：3x-6=0. (2)已知一次函数y=3x-6，问x取何值时，y=0？ 1、 学生说出方程3x-6=0的解为x=2. 2、 画出函数y=3x-6的图象如图所示. 3、 观察图象说出一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(2，0). 4、 说出方程3x-6=0的解x=2与一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(2，0)的关系：当y=0时，得x=2，而x=2正是方程3x-6=0的解. 5、 得出结论：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx +b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标. 三、例题讲解 例3 已知一次函数y=2x+6，求这个函数的图象与x轴的交点的横坐标. 分析 本题有两种解法：①函数y=2x+6与x轴交点的横坐标，就是当y=0时，所得方程2x+6=0的解，故解方程2x+6=0；②画出函数y=2x+6的图象，找出与与x轴的交点，即可得出交点的横坐标. 解法一 令y=0，解方程2x+6=0，得 x=-3. 所以一次函数y=2x+6的图象与x轴交点的横坐标为-3. 解法二 画出函数y=2x+6的图象如右图. 直线y=2x+6与x轴交于点(-3，0)，所以该图象与x轴 的交点的横坐标为-3. 方法提示 上面两种解法分别从“数”和“形”的角度出发解决问题. 四、巩固练习 1、 一次函数y=2x+4的图象与x轴的交点坐标是（ ） A. (2，0) B. (4，0) C. (-2，0) D. (-4，0) 【答案】C 2、 若一次函数y=(k-2)x+2k+1的图象与y轴的交点的坐标是(0，1)，则该图象与x轴的交点的横坐标是（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 3、 已知一次函数y=ax+b的图象经过点M(-3，4),那么方程ax+b-4=0的解是（ ） A. x=4 B. x=-3 C. x=-3或 x=4 D. 不能求出 【答案】C 五、课堂总结 师问生答 1、 一次函数y=kx+b与二元一次方程kx-y+b=0有什么关系？ 一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. 2、 一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系？ 一般地，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx +b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，是一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标. 六、作业及指导 课本第139页练习1、2、3题 1、 把下列二元一次方程改写成y=kx+b的形式. (1) 3x+y=7； (2) 3x+4y=13. 解 (1) y=-3x+7. (2). 2、 已知函数y=3x+9，自变量满足什么条件时，y=0？ 解 由3x+9=0，解得 x=-3. 所以，当x=-3时，y=0. 3、 利用函数图象，解方程3x-9=0.？ 解 画出函数y=3x-9的图象，如图. 直线 y=3x-9与x轴交于点(3，0)， 所以方程3x-9=0的解为x=3. 能力提升 如图，已知直线l ：y=ax+1与l ：y=x+4相交于点C，且点C的纵坐标为2，l ，l 分别与x轴相交于点A，点B. (1)写出关于x的方程ax+1=x-5的解. (2)求直线l 的解析式. (3)求△ABC的面积. 解 (1)∵直线y=ax+1与直线y=x+4相交于点C， ∴ 点C既在直线y=x+4上也在直线y=ax+1上. 将点C的纵坐标2代入y=x+4，得x+4=2，解得x=-2，即点C的横坐标坐标为-2. 而方程ax+1=x-5的解就是直线y=ax+1与直线y=x+4的交点的横坐标， ∴方程ax+1=x-5的解是x=-2. (2)点C的坐标是(-2，2)，将坐标代入y=ax+1，得-2a+1=2， 解得 . ∴直线l 的解析式为. (3)对于y=x+4，令y=0，得y=-4， 对于，令y=0，得x=2. ∴ B(-4，0)，A(2，0). ∴ AB=2-(-4)=6. 又∵ △ABC的高为2， ∴ S△ABC=AB×2=×6×2=6.
板书设计 4.5 一次函数的应用（3） 1、 一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. 2、 一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx +b=0的解；一元一次方程kx +b=0的解等于一次函数y=kx+b图象与x轴的交点的横坐标.
课后反思
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